Найти предел с помощью второго замечательного предела

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ (пределы и свойства функций)

Задача: Найти предел

\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x+3}{x-2}\right)^{2x+1}

с помощью второго замечательного предела.

Решение:

Шаг 1. Преобразуем основание степени

Рассмотрим выражение \frac{x+3}{x-2}. Разделим числитель и знаменатель на x:

 \frac{x+3}{x-2} = \frac{x(1 + \frac{3}{x})}{x(1 - \frac{2}{x})} = \frac{1 + \frac{3}{x}}{1 - \frac{2}{x}}. 

При x \to \infty, \frac{3}{x} \to 0 и \frac{2}{x} \to 0, следовательно:

 \frac{x+3}{x-2} \to 1. 

Шаг 2. Представим выражение в виде экспоненты

Для удобства используем свойства логарифмов и экспоненты. Перепишем выражение:

 \left(\frac{x+3}{x-2}\right)^{2x+1} = \exp\left((2x+1) \cdot \ln\left(\frac{x+3}{x-2}\right)\right). 

Теперь нам нужно найти предел от аргумента экспоненты:

 \lim_{x \to \infty} (2x+1) \cdot \ln\left(\frac{x+3}{x-2}\right). 

Шаг 3. Упростим аргумент логарифма

Рассмотрим \ln\left(\frac{x+3}{x-2}\right). Используем разложение логарифма для малых отклонений от 1:

 \ln\left(\frac{x+3}{x-2}\right) = \ln\left(1 + \frac{5}{x-2}\right), 

где \frac{5}{x-2} \to 0 при x \to \infty. Для малых y известно, что \ln(1 + y) \approx y. Поэтому:

 \ln\left(1 + \frac{5}{x-2}\right) \approx \frac{5}{x-2}. 

Подставим это приближение:

 \ln\left(\frac{x+3}{x-2}\right) \approx \frac{5}{x-2}. 

Шаг 4. Подставим в аргумент экспоненты

Теперь подставим приближение для логарифма в аргумент экспоненты:

 (2x+1) \cdot \ln\left(\frac{x+3}{x-2}\right) \approx (2x+1) \cdot \frac{5}{x-2}. 

Упростим выражение. Разделим числитель и знаменатель дроби \frac{5}{x-2} на x:

 \frac{5}{x-2} = \frac{5}{x(1 - \frac{2}{x})}. 

При x \to \infty, 1 - \frac{2}{x} \to 1, и выражение становится:

 \frac{5}{x-2} \approx \frac{5}{x}. 

Подставим это в аргумент экспоненты:

 (2x+1) \cdot \frac{5}{x} = 5 \cdot \frac{2x+1}{x}. 

Разделим числитель на x:

 5 \cdot \frac{2x+1}{x} = 5 \cdot \left(2 + \frac{1}{x}\right). 

При x \to \infty, \frac{1}{x} \to 0, и остается:

 5 \cdot 2 = 10. 

Шаг 5. Найдем предел

Теперь мы знаем, что аргумент экспоненты стремится к 10. Следовательно:

 \lim_{x \to \infty} \left(\frac{x+3}{x-2}\right)^{2x+1} = \exp(10). 

Ответ:

\exp(10) или e^{10}.