Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!
Заполните, пожалуйста, данные для автора:
- 22423 авторов готовы помочь тебе.
- 2402 онлайн
Данная задача относится к предмету математика, разделу математический анализ, теме пределов последовательностей. Мы должны найти предел следующего выражения: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{n^2 - \sqrt[3]{n^3 + 1}}{\sqrt[3]{n^6 + 2 - n}} \]
Шаг 1. Изучение формы выражения для больших \(n\)
Для больших значений \(n\) некоторые члены в выражении начинают доминировать. Рассмотрим числитель и знаменатель отдельно для этого.
\[ n^2 - \sqrt[3]{n^3 + 1} \]
При больших \(n\) можно заметить, что \( \sqrt[3]{n^3 + 1} \) ведет себя как \(n\), так как:
\[\sqrt[3]{n^3 + 1} \approx n \text{ при } n \to \infty.\]
Поэтому можно записать приближение для числителя:
\[ n^2 - \sqrt[3]{n^3 + 1} \approx n^2 - n. \]
\[ \sqrt[3]{n^6 + 2 - n} \]
Так как \(n^6\) доминирует при больших \(n\), можем записать:
\[\sqrt[3]{n^6 + 2 - n} \approx \sqrt[3]{n^6} = n^2.\]
Шаг 2. Упрощение дроби
Теперь подставим приближённые выражения числителя и знаменателя:
\[ \frac{n^2 - n}{n^2} = \frac{n(n - 1)}{n^2} = 1 - \frac{1}{n}. \]
При \(n \to \infty\), \(\frac{1}{n} \to 0\), и выражение стремится к:
\[ \lim_{n \to \infty} \left(1 - \frac{1}{n}\right) = 1. \]
Ответ: \[\lim_{n \to \infty} \frac{n^2 - \sqrt[3]{n^3 + 1}}{\sqrt[3]{n^6 + 2 - n}} = 1.\]