Найти предел не используя правило Лопиталя и ряд Тейлора

Это задание по разделу "Математика", тема "Пределы функций". Нам нужно найти следующий предел: \[ \lim\limits_{x \to 0^{-}} \frac{\ln(x+1)}{3x^2}, \] где \(x \to 0^-\), то есть \( x \) стремится к нулю слева (отрицательные значения).

Шаг 1. Анализ выражения при \(x \to 0^-\)

Для начала рассмотрим функцию \( \ln(x+1)\) в окрестности точки \(x = 0\). Подставим значения \(x \to 0^{-} \) (то есть \(x < 0\), приближается к нулю с отрицательной стороны). Для того, чтобы определяться с поведением логарифма в этой ситуации, заметим, что если \( x + 1 > 0 \), то область допустимых значений логарифма сохраняется определённой.

Шаг 2. Переход к пределу

Рассмотрим более подробно поведение в числителе и знаменателе:

\(\ln(x + 1)\):

Когда \(x \to 0^{-}\), \(x + 1 \to 1^{-}\), и по свойству логарифма мы знаем, что \( \ln(1) = 0\). Таким образом, числитель будет стремиться к \( \ln(1) = 0 \).

Знаменатель \(3x^2\):

Знаменатель стремится к \(0^+\), так как выражение \(x^2\) всегда неотрицательное (отличается от нуля), и при \(x \to 0^{-}\), значение \( x^2 \to 0^+\).

Шаг 3. Применение асимптотики

Выражение \( \ln(1 + x) \) известно, как примерно \(x\), при \(x\) близком к \(0\). Используем это:

\[ \ln(x+1) \approx x \text{ для малых } x. \]

Следовательно, при \( x \to 0 \):

\[ \frac{\ln(1+x)}{3x^2} \approx \frac{x}{3x^2} = \frac{1}{3x}. \]

Теперь нужно найти предел этого выражения при \(x \to 0^{-}\):

\[ \lim\limits_{x \to 0^{-}} \frac{1}{3x}. \]

Ответ: \[ \lim\limits_{x \to 0^{-}} \frac{\ln(x+1)}{3x^2} = -\infty. \]

Так как \(x \to 0^{-}\), то \( \frac{1}{3x} \to -\infty\), потому что знаменатель стремится к нулю через отрицательные значения, а число при этом отрицательное и в результате даёт отрицательное бесконечно большое значение.