Найти предел не используя правило Лопиталя

На изображении представлено математическое задание, связанное с вычислением предела функции, когда переменная x стремится к бесконечности. Это задание относится к предмету математика, а более конкретно к разделу математического анализа. Давайте решим задачу шаг за шагом:

Имеем предел: \[ \lim_{{x \to \infty}} \left( \frac{4x + 2}{4x - 1} \right)^{3x} \]

Чтобы найти данный предел, нам нужно упростить выражение внутри скобок. В бесконечности слагаемые, растущие медленнее, чем линейные (как +2 и -1), не влияют на значение выражения. Поэтому мы можем их опустить и упростить вышестоящее до:\[ \left( \frac{4x}{4x} \right)^{3x} = 1^{3x} \]

Предел \(1^{3x}\), очевидно, равен 1, так как любое число (не равное 0) в степени, стремящейся к бесконечности, будет равно 1. Следовательно:\[ \lim_{{x \to \infty}} \left( \frac{4x + 2}{4x - 1} \right)^{3x} = 1 \]

Это упрощенное решение предполагает, что мы рассматриваем лишь старшие порядки x и не углубляемся в строгое обоснование для степенных функций и их пределов. В более строгом анализе нам пришлось бы учитывать всю структуру функции и использовать дополнительные функции, такие как натуральный логарифм (ln), для уточнения решения.