Найти предел. Найти производную

Задание относится к предмету "Математика", разделу "Математический анализ."
  1. Задание 1:

    Найти предел. Дано: \(\lim_{x\to 5} \frac{x^2 - 7x + 10}{x - 5}\)

    Решение:

    Выполняем подстановку предела \(x = 5\) напрямую:

    \[ \frac{x^2 - 7x + 10}{x - 5} \Bigg|_{x=5} = \frac{5^2 - 7 \cdot 5 + 10}{5 - 5} = \frac{0}{0} \]

    Возникает неопределенность. Попробуем упростить числитель. Разлагаем \(x^2 - 7x + 10\) на множители:

    \[ x^2 - 7x + 10 = (x - 5)(x - 2) \]

    Тогда выражение становится:

    \[ \frac{x^2 - 7x + 10}{x - 5} = \frac{(x - 5)(x - 2)}{x - 5}. \]

    Сокращаем \(x - 5\) (при условии \(x \neq 5\)):

    \[ \frac{(x - 5)(x - 2)}{x - 5} = x - 2. \]

    Теперь подставляем \(x = 5\):

    \[ \lim_{x \to 5} (x - 2) = 5 - 2 = 3. \]

    Ответ: \(\mathbf{3}\).

  2. Задание 2:

    Найти производную \(y = e^{\sin x}\).

    Решение:

    Применяем цепное правило. Производная экспоненты \(e^u\) равна \(e^u \cdot u'\), где \(u = \sin x\).

    Функция \(y = e^{\sin x}\). Производная:

    \[ y' = e^{\sin x} \cdot \frac{d}{dx}(\sin x). \]

    Производная \(\sin x\) равна \(\cos x\), тогда:

    \[ y' = e^{\sin x} \cdot \cos x. \]

    Ответ: \(y' = e^{\sin x} \cdot \cos x\).

  3. Задание 3:

    Найти неопределённый интеграл \(\int (3e^x + 5) \, dx\).

    Решение:

    Разбиваем интеграл на два слагаемых:

    \[ \int (3e^x + 5) \, dx = \int 3e^x \, dx + \int 5 \, dx. \]

    1. Интеграл от \(3e^x\):

    \[ \int 3e^x \, dx = 3 \int e^x \, dx = 3e^x. \]

    2. Интеграл от \(5\):

    \[ \int 5 \, dx = 5x. \]

    Итоговый результат:

    \[ \int (3e^x + 5) \, dx = 3e^x + 5x + C, \] где \(C\) — произвольная константа.

    Ответ: \(\mathbf{3e^x + 5x + C}\).

  4. Задание 4:

    Найти неопределенный интеграл \(\int \sqrt{52 + t^3} \, dt\).

    Решение:

Этот интеграл не берется аналитически простым образом из-за сложности интегрируемой функции, поэтому может быть решен с привлечением специальных функций или численных методов (например, разложения в ряд Тейлора или использования программных вычислительных методов).

Не нашли нужного вам решения? Оставьте заявку и наши авторы быстро и качественно помогут вам с решением.
Оставить заявку
Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!
  • 22423 авторов готовы помочь тебе.
  • 2402 онлайн