Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!
- 22423 авторов готовы помочь тебе.
- 2402 онлайн
Найти предел. Дано: \(\lim_{x\to 5} \frac{x^2 - 7x + 10}{x - 5}\)
Выполняем подстановку предела \(x = 5\) напрямую:
\[ \frac{x^2 - 7x + 10}{x - 5} \Bigg|_{x=5} = \frac{5^2 - 7 \cdot 5 + 10}{5 - 5} = \frac{0}{0} \]
Возникает неопределенность. Попробуем упростить числитель. Разлагаем \(x^2 - 7x + 10\) на множители:
\[ x^2 - 7x + 10 = (x - 5)(x - 2) \]
Тогда выражение становится:
\[ \frac{x^2 - 7x + 10}{x - 5} = \frac{(x - 5)(x - 2)}{x - 5}. \]
Сокращаем \(x - 5\) (при условии \(x \neq 5\)):
\[ \frac{(x - 5)(x - 2)}{x - 5} = x - 2. \]
Теперь подставляем \(x = 5\):
\[ \lim_{x \to 5} (x - 2) = 5 - 2 = 3. \]
Ответ: \(\mathbf{3}\).
Найти производную \(y = e^{\sin x}\).
Применяем цепное правило. Производная экспоненты \(e^u\) равна \(e^u \cdot u'\), где \(u = \sin x\).
Функция \(y = e^{\sin x}\). Производная:
\[ y' = e^{\sin x} \cdot \frac{d}{dx}(\sin x). \]
Производная \(\sin x\) равна \(\cos x\), тогда:
\[ y' = e^{\sin x} \cdot \cos x. \]
Ответ: \(y' = e^{\sin x} \cdot \cos x\).
Найти неопределённый интеграл \(\int (3e^x + 5) \, dx\).
Разбиваем интеграл на два слагаемых:
\[ \int (3e^x + 5) \, dx = \int 3e^x \, dx + \int 5 \, dx. \]
1. Интеграл от \(3e^x\):
\[ \int 3e^x \, dx = 3 \int e^x \, dx = 3e^x. \]
2. Интеграл от \(5\):
\[ \int 5 \, dx = 5x. \]
Итоговый результат:
\[ \int (3e^x + 5) \, dx = 3e^x + 5x + C, \] где \(C\) — произвольная константа.
Ответ: \(\mathbf{3e^x + 5x + C}\).
Найти неопределенный интеграл \(\int \sqrt{52 + t^3} \, dt\).
Этот интеграл не берется аналитически простым образом из-за сложности интегрируемой функции, поэтому может быть решен с привлечением специальных функций или численных методов (например, разложения в ряд Тейлора или использования программных вычислительных методов).