Найти предел, используя свойства экспоненты и метод выделения главного слагаемого

Предмет: Математика

Раздел: Математический анализ (Пределы, Замечательные пределы)

Дано выражение:

\[ \lim_{n \to \infty} \frac{\sin x \cdot e^{nx} + x^4 \cdot e^{-2nx}}{e^{nx} + e^{-2nx}}. \]

Наша цель — найти предел, используя свойства экспоненты и метод выделения главного слагаемого.

Шаг 1: Анализ поведения слагаемых при \(n \to \infty\)

1. В числителе:
   • \( \sin x \cdot e^{nx} \): доминирующий член, так как \( e^{nx} \to \infty \) (при \(n \to \infty\)).
   • \( x^4 \cdot e^{-2nx} \): при \(n \to \infty\), \(e^{-2nx} \to 0\), так что этот член становится бесконечно малым.

   Таким образом, в числителе доминирующим является \( \sin x \cdot e^{nx} \).

2. В знаменателе:
   • \( e^{nx} \): доминирующий член, так как \( e^{nx} \to \infty \).
   • \( e^{-2nx} \): при \(n \to \infty\), \(e^{-2nx} \to 0\), так что этот член становится бесконечно малым.

   Таким образом, в знаменателе доминирующим является \( e^{nx} \).

Шаг 2: Упрощение выражения

Выделяем доминирующий член \(e^{nx}\) в числителе и знаменателе:

\[ \frac{\sin x \cdot e^{nx} + x^4 \cdot e^{-2nx}}{e^{nx} + e^{-2nx}} = \frac{e^{nx} \cdot (\sin x + x^4 \cdot e^{-3nx})}{e^{nx} \cdot (1 + e^{-3nx})}. \]

Сокращаем \(e^{nx}\) в числителе и знаменателе:

\[ \frac{\sin x + x^4 \cdot e^{-3nx}}{1 + e^{-3nx}}. \]

Шаг 3: Переход к пределу

При \(n \to \infty\), \(e^{-3nx} \to 0\), поэтому:

\[ \sin x + x^4 \cdot e^{-3nx} \to \sin x, \]

\[ 1 + e^{-3nx} \to 1. \]

\[ \lim_{n \to \infty} \frac{\sin x + x^4 \cdot e^{-3nx}}{1 + e^{-3nx}} = \frac{\sin x}{1} = \sin x. \]

Ответ:

\[ \lim_{n \to \infty} \frac{\sin x \cdot e^{nx} + x^4 \cdot e^{-2nx}}{e^{nx} + e^{-2nx}} = \sin x. \]

Следовательно, предел равен: