Найти предел используя «первый замечательный предел» и «эквивалентность бесконечно малых»

Определение предмета и раздела:

Задача относится к предмету математического анализа, в частности, к разделу, связанному с исследованием пределов функций, а именно пределов в нуле.

Решение:

Нам необходимо найти следующий предел: \[ \lim_{x \to 0} \left\{ \frac{1}{\sin^2{x}} - \frac{x \cos{x}}{\sin^3{x}} \right\} \]

Для этого используем:

1. Первый замечательный предел: \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin{x}}{x} = 1 \).
2. Эквивалентности при \( x \to 0 \) (приближения синуса и косинуса):

\[ \sin{x} \sim x \]
\[ \cos{x} \sim 1 \]

Шаг 1. Анализ первого слагаемого \(\frac{1}{\sin^2{x}}\)

Для малых \( x \), применяя приближение \( \sin{x} \sim x \), имеем:

\[ \frac{1}{\sin^2{x}} \sim \frac{1}{x^2} \]

Шаг 2. Анализ второго слагаемого \(\frac{x \cos{x}}{\sin^3{x}}\)

Для малых \( x \), \( \cos{x} \sim 1 \), и \( \sin{x} \sim x \), что даёт:

\[ \frac{x \cos{x}}{\sin^3{x}} \sim \frac{x \cdot 1}{x^3} = \frac{1}{x^2} \]

Шаг 3. Разность слагаемых

Теперь вернёмся к исходному пределу:

\[ \frac{1}{\sin^2{x}} - \frac{x \cos{x}}{\sin^3{x}} \sim \frac{1}{x^2} - \frac{1}{x^2} = 0 \]

Шаг 4. Вычисление предела

Таким образом, предел равен:

\[ \lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{\sin^2{x}} - \frac{x \cos{x}}{\sin^3{x}} \right) = 0 \]

Ответ:

Предел равен \( 0 \).