Найти предел функции без правила Лопиталя

Этот предел относится к математическому анализу, конкретно к теме пределов функций.

Нам нужно найти предел следующей функции при \( x \to \infty \): \[ \lim_{x \to \infty} \left( \frac{x^4 + 5}{x^4 + 10} \right)^{x+2} \]

Для этого давайте рассмотрим выражение под степенью: \[ \frac{x^4 + 5}{x^4 + 10} \]

При больших значениях \( x \), \( x^4 \) доминирует над константами, и поэтому: \[ \frac{x^4 + 5}{x^4 + 10} \approx \frac{x^4}{x^4} = 1 \]

Однако, чтобы более точно решить предел, мы будем учитывать малые отклонения от 1: \[ \frac{x^4 + 5}{x^4 + 10} = \frac{x^4 (1 + \frac{5}{x^4})}{x^4 (1 + \frac{10}{x^4})} = \frac{1 + \frac{5}{x^4}}{1 + \frac{10}{x^4}} \]

Когда \( x \) стремится к бесконечности, \( \frac{5}{x^4} \) и \( \frac{10}{x^4} \) стремятся к нулю, так что: \[ \lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{5}{x^4}}{1 + \frac{10}{x^4}} = 1 \]

Но этот результат не учитывает степень \( x + 2 \). Чтобы провести анализ, перейдем к логарифму функции, пользуясь тем, что предел экспоненциальной функции от предела логарифма: \[ y = \left( \frac{x^4 + 5}{x^4 + 10} \right)^{x+2} \]

Возьмем натуральный логарифм: \[ \ln y = (x+2) \ln \left( \frac{x^4 + 5}{x^4 + 10} \right) \]

Теперь разобьем на части: \[ \ln \left( \frac{x^4 + 5}{x^4 + 10} \right) = \ln ( 1 + \frac{5 - 10}{x^4 + 10} ) = \ln ( 1 - \frac{5}{x^4 + 10} ) \]

При больших \( x \), \(\ln(1 + z) \approx z \) если \( z \) стремится к нулю, потому мы можем записать: \[ \ln \left( 1 - \frac{5}{x^4 + 10} \right) \approx - \frac{5}{x^4 + 10} \]

Теперь подставим это обратно в выражение для \(\ln y\): \[ \ln y \approx (x + 2) \left( - \frac{5}{x^4 + 10} \right) = -5 \cdot \frac{x + 2}{x^4 + 10} \]

В пределе при \( x \to \infty \), \(\frac{x+2}{x^4 + 10}\) стремится к нулю, так что: \[ \ln y \to 0, \quad \text{и, следовательно,} \quad y \to e^0 = 1 \]

Таким образом, \[ \lim_{x \to \infty} \left( \frac{x^4 + 5}{x^4 + 10} \right)^{x+2} = 1 \]