Найти предел функций, не используя лопиталь

Это задание из раздела математического анализа по теме "Пределы функций".

Задание: \[ \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 2^x}{x - 2}. \]

Указание: Используйте предел \( \lim_{x \to 0} \frac{a^x - 1}{x} = \ln(a) \).

Решение:

1. Рассмотрим числитель выражения и подставим вместо числа 2 некоторую переменную \( a \): \[ x^2 - 2^x = x^2 - a^x, \text{где } a = 2. \]
2. Предел можно переписать в виде: \[ \lim_{x \to a} \frac{x^2 - a^x}{x - a} \text{где } a = 2. \]
3. Заметим, что числитель \(x^2 - a^x \) при \( x \to a \) это неопределенность вида \( 0 - 0 \). Попробуем упростить выражение.
4. Разделим числитель на две части: \[ \lim_{x \to a} \frac{x^2 - a^x}{x - a} = \lim_{x \to a} \left( \frac{x^2 - a^2}{x - a} - \frac{a^x - a^2}{x - a} \right). \]
5. Каждый из этих лимитов рассмотрим отдельно: \[ \lim_{x \to a} \frac{x^2 - a^2}{x - a} \] Это классический предел вида разности квадратов: \[ x^2 - a^2 = (x - a)(x + a). \] \[ \frac{x^2 - a^2}{x - a} = x + a \rightarrow 2a \text{ при } x \to a. \]
6. Второй лимит: \[ \lim_{x \to a} \frac{a^x - a^2}{x - a} = \lim_{x \to a} \frac{a^x - a \cdot a}{x - a} = a \cdot \lim_{x \to a} \frac{a^{x-a} - 1}{x - a}.\]
7. Используем указанный предел: \[ \lim_{z \to 0} \frac{a^z - 1}{z} = \ln(a). \]
8. То есть: \[ a \cdot \ln(a) \text{ при подставке } x - a \text{ вместо } z = 0. \]
9. Составим общий предел: \[ \lim_{x \to a} \left( x + a - a \cdot \ln(a) \right). \]
10. Подставим значение \( a = 2 \): \[ \lim_{x \to 2} \left( x + 2 - 2 \cdot \ln(2) \right). \]

Ответ: \[ 4 - 2 \cdot \ln(2). \]