Найти предел функции с подробным объяснением (без правила Лопиталя)

Это задание из области математического анализа, раздел "Пределы функций".

4. Найти предел функции:

Рассмотрим предел: lim (n→∞) (n/(n-3))^n.

1. Перепишем в удобной форме:

(n/(n-3))^n = ((1 + 3/(n-3)))^n.

2. Применим формулу для экспоненты:

Если (1 + a/n)^n → e^a при n → ∞, то: ((1 + 3/(n-3)))^n = e^(3 * n/(n-3)).

3. Упростим выражение в экспоненте:

3 * n/(n-3) ≈ 3 * 1/(1) = 3, так как n → ∞.

Таким образом, предел будет: e^3.

5. Найти предел функции:

lim (x→∞) (2x^3 - 3)/√(x^6 + 2x - 3).

1. Сначала упростим дробь, домножив числитель и знаменатель на 1/x^3:

(2 - 3/x^3)/(√(1 + 2/x^5 - 3/x^6)).

2. При x → ∞, можем пренебречь членами, содержащими 1/x^k, где k > 0. Поэтому:

(2 - 0)/(√(1 + 0 - 0)) = 2/1 = 2.

Таким образом, предел равен: 2.