Найти предел функции без использования правила Лопиталя

Предмет: Математика

Раздел: Математический анализ — Пределы функций

Нужно найти предел функции:

 \lim_{x \to 0} \frac{\cos(6x) \cdot \sin^2(7x)}{x^3 \arctg(8x)} 

Решаем задачу без использования правила Лопиталя.

Шаг 1. Упрощение числителя

1. Для малых значений ( x ) приближение для косинуса:  \cos(6x) \approx 1,  так как ( \cos(0) = 1 ).

2. Для ( \sin^2(7x) ) используем приближение:  \sin(7x) \approx 7x,  так как ( \sin(x) \approx x ) при ( x \to 0 ).
   Тогда:  \sin^2(7x) \approx (7x)^2 = 49x^2. 

Итак, числитель:  \cos(6x) \cdot \sin^2(7x) \approx 1 \cdot 49x^2 = 49x^2. 

Шаг 2. Упрощение знаменателя

1. Для ( \arctg(8x) ) используем приближение:  \arctg(8x) \approx 8x,  так как ( \arctg(x) \approx x ) при ( x \to 0 ).

2. Знаменатель:  x^3 \arctg(8x) \approx x^3 \cdot 8x = 8x^4. 

Шаг 3. Выражение предела

Теперь предел:  \lim_{x \to 0} \frac{\cos(6x) \cdot \sin^2(7x)}{x^3 \arctg(8x)} \approx \lim_{x \to 0} \frac{49x^2}{8x^4}. 

Сократим ( x^2 ) в числителе и знаменателе:  \frac{49x^2}{8x^4} = \frac{49}{8x^2}. 

Шаг 4. Итог

При ( x \to 0 ), выражение ( \frac{49}{8x^2} \to \infty ), так как ( x^2 \to 0 ) в знаменателе.

Ответ: Предел равен ( +\infty ).