Найти предел функции

Этот вопрос относится к математике, а именно к разделу математического анализа, связанному с вычислением пределов функций.

Требуется найти предел функции:

\[ \lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 2x + 1}{x^3 - x}. \]

ПРИСТУПИМ К ЕЁ РЕШЕНИЮ.

1. Попробуем подставить \(x = 1\):

   \[ \frac{(1)^2 - 2(1) + 1}{(1)^3 - 1} = \frac{1 - 2 + 1}{1 - 1} = \frac{0}{0}. \]

   Получаем неопределённость вида \( \frac{0}{0} \), что указывает на необходимость дальнейшего преобразования выражения.

2. Разложим числитель и знаменатель на множители:

   • Числитель: \(x^2 - 2x + 1\) — это полный квадрат, который можно записать как:

     \[ x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2. \]

   • Знаменатель: \(x^3 - x\) можно вынести за скобки \(x\), и получим следующее выражение:

     \[ x^3 - x = x(x^2 - 1). \]

     Применяя разложение на множители для \(x^2 - 1\), оно представляется как разность квадратов:

     \[ x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1). \]

     Таким образом:

     \[ x^3 - x = x(x - 1)(x + 1). \]

   Теперь, наша функция выглядит следующим образом:

   \[ \frac{(x - 1)^2}{x(x - 1)(x + 1)}. \]

3. Сокращаем общий множитель \(x - 1\):

   На этом этапе можно сократить множитель \(x - 1\) в числителе и знаменателе (для этого важно, что \(x \to 1,\) но \(x \neq 1\), значит, делить на \(x - 1\) можно безопасно):

   \[ \frac{(x - 1)}{x(x + 1)}. \]

4. Теперь можно подставить \(x = 1\):

   \[ \lim_{x \to 1} \frac{x - 1}{x(x + 1)} = \frac{1 - 1}{1(1 + 1)} = \frac{0}{2} = 0. \]

Ответ: Предел равен 0.