Найти площадь под графиком

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ – определённый интеграл, геометрический смысл функции и её первообразной.

На изображении представлена функция, заданная графиком: прямая линия, проходящая через начало координат и точку (2, 3). Также обозначена площадь под графиком от 0 до 2, что указывает на необходимость найти:

• f(x) — функцию, заданную графиком;
• F(x) — первообразную функции f(x), т.е. интеграл от f(x);
• Площадь под графиком — определённый интеграл функции f(x) от 0 до 2.

Шаг 1. Найдём функцию f(x)

На графике изображена прямая линия, проходящая через начало координат (0, 0) и точку (2, 3). Это значит, что функция имеет вид:

f(x) = kx

Найдём коэффициент k по двум точкам:

 k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{3 - 0}{2 - 0} = \frac{3}{2} 

Значит, функция:

f(x) = \frac{3}{2}x

Шаг 2. Найдём первообразную F(x)

Первообразная функции f(x) = \frac{3}{2}x будет:

 F(x) = \int \frac{3}{2}x \, dx = \frac{3}{2} \cdot \frac{x^2}{2} + C = \frac{3}{4}x^2 + C 

Где C — произвольная постоянная интегрирования.

Шаг 3. Найдём площадь под графиком (определённый интеграл)

Площадь под графиком функции f(x) от 0 до 2 — это определённый интеграл:

 \int_0^2 \frac{3}{2}x \, dx = \left[\frac{3}{4}x^2\right]_0^2 = \frac{3}{4} \cdot 2^2 - \frac{3}{4} \cdot 0^2 = \frac{3}{4} \cdot 4 = 3 

Ответ:

• Функция: f(x) = \frac{3}{2}x
• Первообразная: F(x) = \frac{3}{4}x^2 + C
• Площадь под графиком от 0 до 2: 3