Найти площадь области ( D ), ограниченной кривыми

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ / Кратные интегралы / Площадь плоской области

Задание: Найти площадь области ( D ), ограниченной кривыми: x^2 + y^2 = -4x,
x^2 + y^2 = -2x,
при условии y \leq 0.

Шаг 1: Преобразуем уравнения

Рассмотрим первое уравнение: x^2 + y^2 = -4x
Переносим всё влево: x^2 + 4x + y^2 = 0
Дополняем до полного квадрата: (x + 2)^2 + y^2 = 4

Это уравнение окружности с центром в точке (-2, 0) и радиусом 2.

Аналогично второе уравнение: x^2 + y^2 = -2x
x^2 + 2x + y^2 = 0
(x + 1)^2 + y^2 = 1

Это окружность с центром (-1, 0) и радиусом 1.

Нас интересует область между этими окружностями ниже оси x.

Шаг 2: Переход к полярным координатам

Так как уравнения окружностей удобно выражаются в полярных координатах, перейдём к ним:

Полярные координаты: x = r \cos\theta,
y = r \sin\theta,
x^2 + y^2 = r^2

Подставим в уравнения окружностей:

1. r^2 = -4r\cos\theta → r = 0 или r = -4\cos\theta
2. r^2 = -2r\cos\theta → r = 0 или r = -2\cos\theta

Так как r \geq 0, то \cos\theta \leq 0 → \theta \in [\pi/2, 3\pi/2]

Дополнительно по условию y \leq 0 → \sin\theta \leq 0 → \theta \in [\pi, 3\pi/2]

Итак, область интегрирования:

• \theta \in [\pi, 3\pi/2]
• r \in [-2\cos\theta, -4\cos\theta]

Шаг 3: Вычисление площади

Формула площади в полярных координатах: S = \int_{\theta_1}^{\theta_2} \int_{r_1(\theta)}^{r_2(\theta)} r \, dr \, d\theta

Подставим: S = \int_{\pi}^{3\pi/2} \int_{-2\cos\theta}^{-4\cos\theta} r \, dr \, d\theta

Вычислим внутренний интеграл:  \int_{-2\cos\theta}^{-4\cos\theta} r \, dr = \left[\frac{r^2}{2}\right]_{-2\cos\theta}^{-4\cos\theta} = \frac{(-4\cos\theta)^2 - (-2\cos\theta)^2}{2} = \frac{16\cos^2\theta - 4\cos^2\theta}{2} = 6\cos^2\theta 

Теперь внешний интеграл:  S = \int_{\pi}^{3\pi/2} 6\cos^2\theta \, d\theta 

Используем формулу: \cos^2\theta = \frac{1 + \cos(2\theta)}{2}

Тогда:  S = \int_{\pi}^{3\pi/2} 6 \cdot \frac{1 + \cos(2\theta)}{2} \, d\theta = 3 \int_{\pi}^{3\pi/2} (1 + \cos(2\theta)) \, d\theta 

Решим:  \int_{\pi}^{3\pi/2} 1 \, d\theta = \frac{\pi}{2}, \quad \int_{\pi}^{3\pi/2} \cos(2\theta) \, d\theta = \left[\frac{\sin(2\theta)}{2}\right]_{\pi}^{3\pi/2} = \frac{\sin(3\pi)}{2} - \frac{\sin(2\pi)}{2} = 0 

Итак:  S = 3 \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{2} 

Ответ:

\boxed{S = \dfrac{3\pi}{2}} — площадь области D.