Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной следующими линиями

Предмет: Математика

Раздел: Математический анализ (интегралы)

Задача:

Нам нужно найти площадь \( S \) криволинейной трапеции, ограниченной следующими линиями:

1. График функции \( f(x) = x^2 \)
2. Прямая \( y = 0 \) (ось абсцисс)
3. Прямая \( x = 0 \)
4. Прямая \( x = 4 \)

Решение:

Для расчета площади фигуры, ограниченной графиком функции и осями, мы можем использовать определенный интеграл.

Площадь криволинейной трапеции между графиком функции \( f(x) \) и осью \( x \) на интервале от \( x = 0 \) до \( x = 4 \) вычисляется как интеграл:

\[ S = \int_{a}^{b} f(x)\, dx \]

где:

• \( f(x) = x^2 \) — заданная функция;
• \( a = 0 \) и \( b = 4 \) — концы отрезка по \( x \), на котором ограничена трапеция.

Подставляем функцию и пределы интегрирования:

\[ S = \int_{0}^{4} x^2 \, dx \]

Теперь найдем первообразную для функции \( x^2 \). Примитив функции \( x^N \) (где \( N \) — число) равен \( \frac{x^{N+1}}{N+1} \). Применяем это к нашему \( x^2 \):

\[ F(x) = \frac{x^3}{3} \]

Теперь подставим пределы интегрирования и вычислим значения на концах отрезка:

\[ S = \left[\frac{x^3}{3}\right]_{0}^{4} = \frac{4^3}{3} - \frac{0^3}{3} \]

Посчитаем:

\[ S = \frac{64}{3} - 0 = \frac{64}{3} \]

Таким образом, площадь криволинейной трапеции равна:

\[ S = \frac{64}{3} \approx 21.33 \]

Ответ:

Площадь \(\ S\ \) криволинейной трапеции составляет \(\ \frac{64}{3}\ \) или примерно 21.33 квадратических единиц.