Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции

Шаг 1. Определение предмета и раздела

Предмет: Это задача из курса математики, точнее из раздела математического анализа.

Раздел предмета: Определённые интегралы и их нахождение.

Задача: Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции \( f(x) = x^2 \), прямыми \( y = 0 \), \( x = 4 \), \( x = 8 \).

Шаг 2. Введение в решение

Для начала, напомним, что площадь фигуры, ограниченной графиком функции \( y = f(x) \), прямыми \( x = a \) и \( x = b \), а также осью \( x \) (прямая \( y = 0 \)), находится с помощью определённого интеграла:

\[ S = \int_a^b |f(x)| dx \]

Но так как функция задана положительной на всём промежутке, то мы можем интеграл записать без модуля:

\[ S = \int_a^b f(x) \, dx \]

Шаг 3. Формулировка интеграла

Нам дана функция \( f(x) = x^2 \), а также границы:

• \( x = 4 \) — нижняя граница,
• \( x = 8 \) — верхняя граница,
• \( y = 0 \) — это ось \( x \), которая ограничивает криволинейную трапецию снизу.

Таким образом, площадь можно выразить через следующий интеграл:

\[ S = \int_4^8 x^2 \, dx \]

Шаг 4. Вычисление интеграла

Теперь вычислим интеграл \( \int x^2 \, dx \).

• Антидифференцирование \( x^2 \): \[ \int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3} + C \]
• Подставляем границы интегрирования \( 4 \) и \( 8 \): \[ S = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_4^8 = \frac{8^3}{3} - \frac{4^3}{3} \]

Теперь вычислим:

\( 8^3 = 512 \quad \text{и} \quad 4^3 = 64 \)

Подставляем в выражение:

\[ S = \frac{512}{3} - \frac{64}{3} = \frac{512 - 64}{3} = \frac{448}{3} \]

Шаг 5. Ответ

Площадь криволинейной трапеции равна:

\[ S = \frac{448}{3} \quad \text{(квадратных единиц)} \]

Или, если округлить в десятичной форме:

\[ S \approx 149.33 \, \text{(кв. единиц)} \]

Шаг 6. Заключение

Мы нашли площадь криволинейной трапеции в аналитическом виде, а также сделали приближённое десятичное вычисление. Надеюсь, все шаги были объяснены достаточно подробно!