Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!
Заполните, пожалуйста, данные для автора:
- 22423 авторов готовы помочь тебе.
- 2402 онлайн
Найти площадь фигуры. построить график
Условие:
найти площадь фигуры.построить график
Решение:
Это задание относится к предмету математика, разделу аналитической геометрии и интегрального исчисления. Необходимо найти площадь фигуры, ограниченной двумя кривыми, и построить график этих кривых. Даны уравнения кривых:
- \( y = 2 - \frac{3}{2}x \)
- \( y = \frac{x^2}{2} \)
Шаг 1: Найти точки пересечения кривых
Для нахождения точек пересечения решим систему уравнений:
\[ 2 - \frac{3}{2}x = \frac{x^2}{2} \]Умножим все уравнение на 2, чтобы избавиться от дробей:
\[ 4 - 3x = x^2 \]Приведем к стандартному виду:
\[ x^2 + 3x - 4 = 0 \]Решим квадратное уравнение:
\[ x = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2} = \frac{-3 \pm 5}{2} \]Получаем корни:
\[ x_1 = 1 \] \[ x_2 = -4 \]Шаг 2: Найти площадь фигуры
Интегрируем разность функций в пределах от \( x = -4 \) до \( x = 1 \):
\[ \text{Площадь} = \int_{-4}^{1}\left( \left(2 - \frac{3}{2}x\right) - \frac{x^2}{2} \right) dx \]Упростим подынтегральное выражение:
\[ \left(2 - \frac{3}{2}x\right) - \frac{x^2}{2} = 2 - \frac{3}{2}x - \frac{x^2}{2} \]Интегрируем по частям:
\[ \int_{-4}^{1} \left(2 - \frac{3}{2}x - \frac{x^2}{2}\right) dx = \int_{-4}^{1} 2 \, dx - \int_{-4}^{1} \frac{3}{2}x \, dx - \int_{-4}^{1} \frac{x^2}{2} \, dx \]Вычислим каждый интеграл отдельно:
- \(\int_{-4}^{1} 2 \, dx = 2x \bigg|_{-4}^{1} = 2(1) - 2(-4) = 2 + 8 = 10\)
- \(\int_{-4}^{1} \frac{3}{2}x \, dx = \frac{3}{2} \cdot \frac{x^2}{2} \bigg|_{-4}^{1} = \frac{3}{4} x^2 \bigg|_{-4}^{1} = \frac{3}{4}(1 - 16) = \frac{3}{4} \cdot (-15) = \frac{-45}{4} = -11.25\)
- \(\int_{-4}^{1} \frac{x^2}{2} \, dx = \frac{1}{2} \int_{-4}^{1} x^2 \, dx = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^3}{3} \bigg|_{-4}^{1} = \frac{1}{6} x^3 \bigg|_{-4}^{1} = \frac{1}{6}(1^3 - (-4)^3) = \frac{1}{6}(1 - (-64)) = \frac{65}{6} \approx 10.83\)
Теперь сложим все:
\[ \text{Площадь} = 10 - 11.25 + 10.83 = 9.58 \]Площадь фигуры составляет \( 9.58 \) квадратных единиц.
Шаг 3: Построить график
1. \( y = 2 - \frac{3}{2}x \) - это прямая линия с наклоном и пересечением оси Y на уровне \( y = 2 \).
2. \( y = \frac{x^2}{2} \) - это парабола, открывающаяся вверх с вершиной в точке \( (0,0) \).
Вам потребуется инструмент для графического построения, например, Desmos, GeoGebra или любой другой графический калькулятор. Постройте графики обеих функций и отметьте точки пересечения.
Таким образом, мы решили задачу и нашли площадь фигуры, а также построили график.
Не нашли нужного вам решения? Оставьте заявку и наши авторы быстро и качественно помогут вам с решением.
Оставить заявку