Найти площадь фигуры ограниченной линиями. Сделать чертеж

Предмет: Математика

Раздел: Интегралы и площадь под кривой

Мы должны найти площадь фигуры, ограниченной тремя линиями: \( y = x^2 \), \( y = 6 - x \), и \( y = 0 \).

1. Построение чертежа

Для начала построим графики данных функций:

1. \( y = x^2 \) - парабола, вершина которой находится в точке (0, 0) и ветви направлены вверх.
2. \( y = 6 - x \) - прямая линия, пересекающая ось y в точке (0, 6) и ось x в точке (6, 0).
3. \( y = 0 \) - ось x.

2. Найдем точки пересечения графиков

Чтобы найти, где пересекаются эти линии, решим систему уравнений:

1. Для \( y = x^2 \) и \( y = 6 - x \):

\[ x^2 = 6 - x \]

Решим это уравнение:

\[ x^2 + x - 6 = 0 \]

Разложение на множители:

\[ (x + 3)(x - 2) = 0 \]

Таким образом, \( x = -3 \) и \( x = 2 \).

3. Найдем площадь фигуры

Фигура ограничена сверху линией \( y = 6 - x \), снизу линией \( y = x^2 \), и сверху по оси x линией \( y = 0 \). Мы интегрируем разницу верхней и нижней функций по x от -3 до 2.

Теперь выразим площадь как интеграл:

\[ A = \int_{-3}^{2} (6 - x - x^2) \, dx \]

4. Интеграция

Рассчитаем интеграл:

\[ \int (6 - x - x^2) \, dx = \int 6 \, dx - \int x \, dx - \int x^2 \, dx \]

Вычислим каждую часть по отдельности:

\[ \int 6 \, dx = 6x \]

\[ \int x \, dx = \frac{x^2}{2} \]

\[ \int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3} \]

Таким образом, интеграл принимает вид:

\[ 6x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \]

Применяем пределы интегрирования от -3 до 2:

\[ A = \left[ 6x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_{-3}^{2} \]

Рассчитаем значение в верхнем пределе 2:

\[ 6(2) - \frac{2^2}{2} - \frac{2^3}{3} = 12 - 2 - \frac{8}{3} = 12 - 2 - 2.67 \approx 7.33 \]

Теперь рассчитываем значение в нижнем пределе -3:

\[ 6(-3) - \frac{(-3)^2}{2} - \frac{(-3)^3}{3} = -18 - \frac{9}{2} + \frac{27}{3} = -18 - 4.5 + 9 = -13.5 \]

Подведем итог, вычитая значение в -3 из значения в 2:

\[ A = 7.33 - (-13.5) = 7.33 + 13.5 = 20.83 \]

Таким образом, площадь фигуры ограниченной линиями \( y=x^2 \), \( y=6-x \), и \( y=0 \) составляет приблизительно 20.83 квадратных единиц.

Чертеж

1. Нарисуйте координатную плоскость.
2. Постройте параболу \( y = x^2 \) с вершиной в точке (0, 0).
3. Постройте прямую \( y = 6 - x \), которая пересекает ось y в точке (0, 6) и ось x в точке (6, 0).
4. Нанесите прямую \( y = 0 \) (ось x).
5. Заштрихуйте область между этими кривыми от \( x = -3 \) до \( x = 2 \).

Таким образом, чертеж и вычисления подтверждают, что площадь фигуры составляет примерно 20.83 квадратных единиц.