Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

Предмет: Математика

Раздел: Интегралы и Площадь фигур

Задание:

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями \( y = 2x - 5x^2 \) и \( y = 0 \).

Пояснение:

Для нахождения площади фигуры, ограниченной кривой \( y = f(x) \) и прямой \( y = 0 \), необходимо найти область между графиком функции и осью \( x \). Площадь можно вычислить с помощью определенного интеграла.

1. Наша функция для нахождения площади: \( y = 2x - 5x^2 \).
2. Вторая линия — это прямая \( y = 0 \), это просто ось \( x \), значит, мы находим площадь между кривой и осью \( x \) в диапазоне, где кривая пересекает ось \( x \).

Шаг 1: Найдем точки пересечения графика с осью \( x \).

Для нахождения точек пересечения с осью \( x \), нужно приравнять уравнение кривой \( y = 2x - 5x^2 \) к нулю:

\[ 2x - 5x^2 = 0 \]
\[ x(2 - 5x) = 0 \]
Получаем два корня уравнения:
\[ x = 0 \quad \text{или} \quad 2 - 5x = 0, \quad 5x = 2, \quad x = \frac{2}{5} \]

Значит, точки пересечения с осью \( x \) — это \( x = 0 \) и \( x = \frac{2}{5} \).

Шаг 2: Построение определенного интеграла.

Площадь между графиком функции и осью \( x \) на отрезке \([0, \frac{2}{5}]\) вычисляется как интеграл от функции \( y = 2x - 5x^2 \):

\[ S = \int_0^{2/5} (2x - 5x^2) \, dx \]

Шаг 3: Вычислим интеграл.

Интегрируем функцию \( 2x - 5x^2 \):

\[ \int (2x - 5x^2) \, dx = \int 2x \, dx - \int 5x^2 \, dx \]
\[ = x^2 - \frac{5}{3}x^3 \]

Теперь подставляем границы интегрирования \( 0 \) и \( \frac{2}{5} \):

\[ S = \left[ x^2 - \frac{5}{3}x^3 \right]_0^{2/5} \]
Подставляем верхний предел \( x = \frac{2}{5} \):

\[ S = \left( \frac{2}{5} \right)^2 - \frac{5}{3} \left( \frac{2}{5} \right)^3 \]
Выполним вычисления:
\[ S = \frac{4}{25} - \frac{5}{3} \cdot \frac{8}{125} \]
\[ S = \frac{4}{25} - \frac{40}{375} \]
Упрощаем:
\[ S = \frac{4}{25} - \frac{8}{75} \]
Приводим дроби к общему знаменателю:
\[ S = \frac{12}{75} - \frac{8}{75} \]
\[ S = \frac{4}{75} \]

Ответ:

Площадь фигуры равна \( \frac{4}{75} \).