Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ — Определённый интеграл, площадь между графиками функций

Задание:
Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций
y = x^2 - 2x + 6 и y = 2x + 6.

Шаг 1: Найдём точки пересечения графиков

Для этого приравняем правые части уравнений:

x^2 - 2x + 6 = 2x + 6

Переносим всё в одну сторону:

x^2 - 4x = 0

Вынесем x за скобку:

x(x - 4) = 0

Решения:
x = 0 и x = 4

Теперь найдём соответствующие значения y:

Для x = 0:
y = 2(0) + 6 = 6

Для x = 4:
y = 2(4) + 6 = 14

Таким образом, фигура ограничена на отрезке [0; 4]

Шаг 2: Найдём, какая функция выше на этом интервале

Вычислим значения функций в какой-нибудь точке между 0 и 4, например, при x = 1:

• y_1 = x^2 - 2x + 6 = 1 - 2 + 6 = 5
• y_2 = 2x + 6 = 2 + 6 = 8

Значит, на всём интервале [0; 4] функция y = 2x + 6 лежит выше, чем y = x^2 - 2x + 6

Шаг 3: Вычислим площадь между графиками

Площадь между двумя кривыми от a до b вычисляется по формуле:

 S = \int_a^b \left[f(x) - g(x)\right] dx 

Где:

• f(x) = 2x + 6 — верхняя функция
• g(x) = x^2 - 2x + 6 — нижняя функция

Подставим и упростим:

 S = \int_0^4 \left[(2x + 6) - (x^2 - 2x + 6)\right] dx 

Раскроем скобки:

 S = \int_0^4 \left[2x + 6 - x^2 + 2x - 6\right] dx = \int_0^4 \left[4x - x^2\right] dx 

Шаг 4: Вычислим интеграл

 \int_0^4 (4x - x^2) dx = \int_0^4 4x \, dx - \int_0^4 x^2 \, dx 

Вычислим по частям:

• \int_0^4 4x \, dx = 4 \cdot \frac{x^2}{2} \Big|_0^4 = 4 \cdot \frac{16}{2} = 32
• \int_0^4 x^2 \, dx = \frac{x^3}{3} \Big|_0^4 = \frac{64}{3}

Теперь подставим:

 S = 32 - \frac{64}{3} = \frac{96}{3} - \frac{64}{3} = \frac{32}{3} 

Ответ:

S = \frac{32}{3}

Площадь фигуры, ограниченной заданными графиками, равна \frac{32}{3} квадратных единиц.