Найти площадь фигуры, ограниченной этими линиями

Предмет: Математика

Раздел: Математический анализ (Определённые интегралы)

Дано уравнение двух кривых:
y = x^3
y = \sqrt{x}

Необходимо:

1. Найти площадь фигуры, ограниченной этими линиями.
2. Найти длину дуги одной из заданных линий.
3. Найти объем тела, образованного вращением фигуры вокруг оси OX.

1. Нахождение площади фигуры

Площадь фигуры определяется как разность интегралов верхней и нижней функций на заданном интервале.
Сначала находим точки пересечения:
x^3 = \sqrt{x}
Возведем обе части в квадрат:
x^6 = x
x^6 - x = 0
x(x^5 - 1) = 0
Отсюда x = 0 или x = 1.

Площадь выражается интегралом:
S = \int_0^1 (\sqrt{x} - x^3) dx

2. Длина дуги кривой

Формула длины дуги:
L = \int_a^b \sqrt{1 + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2} dx
Рассмотрим, например, кривую y = x^3:
\frac{dy}{dx} = 3x^2, тогда:
L = \int_0^1 \sqrt{1 + (3x^2)^2} dx = \int_0^1 \sqrt{1 + 9x^4} dx.

3. Объем тела вращения

Объем тела, образованного вращением вокруг оси OX, вычисляется по формуле:
V = \pi \int_a^b \left( f^2(x) - g^2(x) \right) dx
Подставляем функции:
V = \pi \int_0^1 \left( (\sqrt{x})^2 - (x^3)^2 \right) dx = \pi \int_0^1 (x - x^6) dx.

Теперь можно вычислить все интегралы.