Найти площадь части поверхности цилиндра вырезаемой из него поверхностью цилиндра

Предмет: Математика

Раздел: Математический анализ (интегралы и площади поверхностей)

Задача:

Найти площадь части поверхности цилиндра x^2 + z^2 = a^2, вырезаемой из него поверхностью цилиндра x^2 + y^2 = a^2.

Решение:

Для нахождения площади поверхности воспользуемся формулой площади поверхности в параметрической форме:

 S = \iint\limits_{D} \sqrt{\left(\frac{\partial x}{\partial u} \frac{\partial y}{\partial v} - \frac{\partial x}{\partial v} \frac{\partial y}{\partial u}\right)^2 + \left(\frac{\partial y}{\partial u} \frac{\partial z}{\partial v} - \frac{\partial y}{\partial v} \frac{\partial z}{\partial u}\right)^2 + \left(\frac{\partial z}{\partial u} \frac{\partial x}{\partial v} - \frac{\partial z}{\partial v} \frac{\partial x}{\partial u}\right)^2} \, du \, dv, 

где D — область, задающая параметры u и v, определяющие поверхность.

1. Параметризация поверхности:

Уравнение цилиндра x^2 + z^2 = a^2 можно параметризовать следующим образом:  \begin{aligned} x &= a \cos \phi, \ z &= a \sin \phi, \ y &= y, \end{aligned}  где \phi \in [0, 2\pi], а y изменяется вдоль оси цилиндра.

2. Ограничение на y:

Второй цилиндр x^2 + y^2 = a^2 накладывает ограничение на y. Подставляя параметризацию x = a \cos \phi в уравнение второго цилиндра, получаем:

 (a \cos \phi)^2 + y^2 = a^2. 

Отсюда:

 y^2 = a^2 (1 - \cos^2 \phi) = a^2 \sin^2 \phi. 

Следовательно:

 y = \pm a \sin \phi. 

Таким образом, y изменяется от -a \sin \phi до a \sin \phi.

3. Элемент площади поверхности:

Элемент площади поверхности цилиндра в параметризации задается формулой:

 dS = \sqrt{\left(\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \phi} \times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial y}\right)^2} \, d\phi \, dy, 

где \mathbf{r}(\phi, y) = (a \cos \phi, y, a \sin \phi).

Вычислим частные производные:

 \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \phi} = \left(-a \sin \phi, 0, a \cos \phi\right), \quad \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial y} = \left(0, 1, 0\right). 

Векторное произведение этих частных производных:

 \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \phi} \times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial y} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \ -a \sin \phi & 0 & a \cos \phi \ 0 & 1 & 0 \end{vmatrix} = \mathbf{i} \cdot (-a \cos \phi) - \mathbf{j} \cdot (0) + \mathbf{k} \cdot (-a \sin \phi). 

Итак:

 \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \phi} \times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial y} = (-a \cos \phi, 0, -a \sin \phi). 

Его модуль:

 \left|\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \phi} \times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial y}\right| = \sqrt{(-a \cos \phi)^2 + (-a \sin \phi)^2} = \sqrt{a^2 (\cos^2 \phi + \sin^2 \phi)} = a. 

Таким образом, элемент площади:

 dS = a \, d\phi \, dy. 

4. Пределы интегрирования:

• \phi изменяется от 0 до \pi (так как требуется только верхняя половина цилиндра x^2 + z^2 = a^2, вырезаемая вторым цилиндром).
• y изменяется от -a \sin \phi до a \sin \phi.

5. Вычисление площади:

Подставим в интеграл:

 S = \int\limits_{0}^{\pi} \int\limits_{-a \sin \phi}^{a \sin \phi} a \, dy \, d\phi. 

Вычислим внутренний интеграл по y:

 \int\limits_{-a \sin \phi}^{a \sin \phi} a \, dy = a \left[y\right]_{-a \sin \phi}^{a \sin \phi} = a \left(a \sin \phi - (-a \sin \phi)\right) = 2a^2 \sin \phi. 

Теперь внешний интеграл:

 S = \int\limits_{0}^{\pi} 2a^2 \sin \phi \, d\phi. 

Вынесем константу за знак интеграла:

 S = 2a^2 \int\limits_{0}^{\pi} \sin \phi \, d\phi. 

Вычислим интеграл:

 \int \sin \phi \, d\phi = -\cos \phi. 

Подставляем пределы:

 \int\limits_{0}^{\pi} \sin \phi \, d\phi = -\cos \phi \Big|_{0}^{\pi} = -\cos \pi - (-\cos 0) = -(-1) - (-1) = 2. 

Итак:

 S = 2a^2 \cdot 2 = 4a^2. 

Ответ:

Площадь части поверхности равна:

 S = 4a^2.