Найти площадь фигуры и построить график

Это задание относится к предмету "Математика", раздел "Аналитическая геометрия" и "Интегральное исчисление".

Сначала найдем точки пересечения двух кривых: 1. \( y = 2 - \frac{3}{2}x \) и 2. \( y = \frac{x^2}{2} \). Для нахождения точек пересечения приравняем правые части уравнений: \[ 2 - \frac{3}{2}x = \frac{x^2}{2} \]

Приведем уравнение к стандартному виду: \[ x^2 + 3x - 4 = 0 \]

Решим это квадратное уравнение: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \( a = 1 \), \( b = 3 \), \( c = -4 \): \[ x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4)}}{2 \cdot 1} \] \[ x = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2} \] \[ x = \frac{-3 \pm \sqrt{25}}{2} \] \[ x = \frac{-3 \pm 5}{2} \] Получаем два корня: \[ x_1 = 1 \] \[ x_2 = -4 \]

Теперь вычислим значения y для найденных x:

Для \( x = 1 \): \[ y = \frac{1^2}{2} = \frac{1}{2} \]

Для \( x = -4 \): \[ y = \frac{(-4)^2}{2} = \frac{16}{2} = 8 \]

Итак, точки пересечения: \( (1, \frac{1}{2}) \) и \( (-4, 8) \).

Следующим шагом будет нахождение площади фигуры, ограниченной двумя кривыми. Площадь между двумя кривыми вычисляется через интеграл: \[ A = \int_{a}^{b} [f(x) - g(x)] \, dx \] где \( f(x) = 2 - \frac{3}{2}x \) и \( g(x) = \frac{x^2}{2} \), а пределы интегрирования от -4 до 1. \[ A = \int_{-4}^{1} \left(2 - \frac{3}{2}x - \frac{x^2}{2}\right) dx \]

Распишем интеграл: \[ A = \int_{-4}^{1} 2 \, dx - \int_{-4}^{1} \frac{3}{2}x \, dx - \int_{-4}^{1} \frac{x^2}{2} \, dx \]

Первый интеграл: \[ \int_{-4}^{1} 2 \, dx = 2x \Big|_{-4}^{1} = 2(1) - 2(-4) = 2 + 8 = 10 \]

Второй интеграл: \[ \int_{-4}^{1} \frac{3/2}x \, dx = \frac{3/2} \int_{-4}^{1} x \, dx = \frac{3/2} \left(\frac{x^2}{2}\right) \Big|_{-4}^{1} = \frac{3/2} \left(\frac{1^2}{2} - \frac{(-4)^2}{2}\right) = \frac{3/2} \left(\frac{1 - 16}{2}\right) = \frac{3/2} \left(\frac{-15}{2}\right) = -\frac{45}{4} = -11.25 \]

Третий интеграл: \[ \int_{-4}^{1} \frac{x^2}{2} \, dx = \frac{1/2} \int_{-4}^{1} x^2 \, dx = \frac{1/2} \left(\frac{x^3}{3}\right) \Big|_{-4}^{1} = \frac{1/2} \left(\frac{1^3}{3} - \frac{(-4)^3}{3}\right) = \frac{1/2} \left(\frac{1}{3} - \frac{-64}{3}\right) = \frac{1/2} \left(\frac{1+64}{3}\right) = \frac{1/2} \left(\frac{65}{3}\right) = \frac{65}{6} \approx 10.83 \]

Теперь сложим результаты: \[ A = 10 - 11.25 - 10.83 = 10 - 22.08 \approx -12.08 \] Площадь не может быть отрицательной, поэтому берем модуль: \[ A \approx 12.08 \]

Теперь построим графики функций \( y = 2 - \frac{3/2}x \) и \( y = \frac{x^2}{2} \). 1. Нарисуем график \( y = 2 - \frac{3/2}x \) - это прямая линия с угловым коэффициентом \(-\frac{3/2}\) и пересечением с осью \(y\) в точке \( y = 2 \). 2. Нарисуем график \( y = \frac{x^2}{2} \) - это парабола, ось симметрии у которой проходит через \( y \) и проходит через начало координат (0, 0). Места пересечения двух графиков - это точки \( (-4, 8) \) и \( (1, \frac{1/2}) \).

Теперь останется построить графики на плоскости и заштриховать нужную область между ними.