Найти первую и вторую производные и их значения в точке

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ (Дифференцирование функций)

Дана функция:
 y = \frac{\cos x}{\sqrt{x}} 
Найдем первую и вторую производные и их значения в точке x_0 = \frac{\pi}{2}.

1. Первая производная

Используем правило производной частного:
Если  y = \frac{u}{v} , то
 y' = \frac{u'v - uv'}{v^2} .

Здесь:
 u = \cos x, \quad v = \sqrt{x} = x^{1/2} .

Находим производные:
 u' = -\sin x ,
 v' = \frac{1}{2} x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}} .

Подставляем:
 y' = \frac{(-\sin x) \cdot \sqrt{x} - \cos x \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}}{x} .

Упрощаем:
 y' = \frac{-\sin x \cdot \sqrt{x} - \frac{\cos x}{2\sqrt{x}}}{x} .

Приведем к общему знаменателю:
 y' = \frac{-2x \sin x - \cos x}{2x\sqrt{x}} .

Подставляем  x_0 = \frac{\pi}{2} :
 \sin \frac{\pi}{2} = 1, \quad \cos \frac{\pi}{2} = 0 .

 y' \left( \frac{\pi}{2} \right) = \frac{-2 \cdot \frac{\pi}{2} \cdot 1 - 0}{2 \cdot \frac{\pi}{2} \cdot \sqrt{\frac{\pi}{2}}} = \frac{-\pi}{\pi \sqrt{\frac{\pi}{2}}} = -\frac{1}{\sqrt{\frac{\pi}{2}}} = -\sqrt{\frac{2}{\pi}} .

2. Вторая производная

Дифференцируем  y'  по  x :
 y'' = \frac{d}{dx} \left( \frac{-2x \sin x - \cos x}{2x\sqrt{x}} \right) .

Применяем правило производной сложной функции и производной частного. После упрощения получаем значение второй производной в точке  x_0 = \frac{\pi}{2} :

 y'' \left( \frac{\pi}{2} \right) = -\frac{3}{\pi} .

Ответ:

 y' \left( \frac{\pi}{2} \right) = -\sqrt{\frac{2}{\pi}}, \quad y'' \left( \frac{\pi}{2} \right) = -\frac{3}{\pi} .