Найти первообразные (или неопределённые интегралы) для функций

Предмет: Математика

Раздел: Математический анализ (Первообразные и интегралы)

Нам нужно найти первообразные (или неопределённые интегралы) для функций из пунктов 1.7 и 1.8.

Определение первообразной:

Первообразной функции ( f(x) ) называется такая функция ( F(x) ), что её производная равна исходной функции:

F'(x) = f(x)

Нахождение первообразной называется интегрированием, а сам результат записывается так:

\int f(x) \,dx = F(x) + C

где ( C ) — произвольная постоянная интегрирования.

Решение пункта 1.7

Найти первообразную для функции:

\int x^{\frac{1}{2}} \,dx

Шаг 1: Используем основную формулу интегрирования степенной функции

Для выражения вида:

\int x^n \,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, \quad n \neq -1

Подставляем ( n = \frac{1}{2} ):

\int x^{\frac{1}{2}} \,dx = \frac{x^{\frac{1}{2} + 1}}{\frac{1}{2} + 1} + C

Шаг 2: Упрощаем степень

\frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2}, значит:

\int x^{\frac{1}{2}} \,dx = \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + C

Шаг 3: Деление на дробь — домножаем на обратную

\frac{1}{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3}, поэтому:

\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}

Ответ:

\int x^{\frac{1}{2}} \,dx = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C

Решение пункта 1.8

Найти первообразную для функции:

\int \frac{x^4 - 1}{x^2 + 1} \,dx

Шаг 1: Разделение дроби

Разделим дробь на два слагаемых:

\int \left( \frac{x^4}{x^2 + 1} - \frac{1}{x^2 + 1} \right) dx

Теперь рассматриваем каждый интеграл отдельно.

Шаг 2: Разделение первого интеграла

Заметим, что ( x^4 ) можно представить как ( x^2 \cdot x^2 ):

\frac{x^4}{x^2 + 1} = x^2 \cdot \frac{x^2}{x^2 + 1}

Разделим многочлен ( x^4 ) на ( x^2 + 1 ) столбиком:

• ( x^4 \div x^2 = x^2 )
• Умножаем: ( x^2 \cdot (x^2 + 1) = x^4 + x^2 )
• Вычитаем: ( (x^4 - 1) - (x^4 + x^2) = -x^2 - 1 )

Таким образом:

\frac{x^4 - 1}{x^2 + 1} = x^2 - 1 + \frac{-1}{x^2 + 1}

Переписываем интеграл:

\int (x^2 - 1) \,dx + \int \frac{-1}{x^2 + 1} \,dx

Шаг 3: Интегрируем каждую часть

1. Интеграл от ( x^2 )
   \int x^2 \,dx = \frac{x^3}{3}

2. Интеграл от ( -1 )
   \int -1 \,dx = -x

3. Интеграл от ( \frac{-1}{x^2 + 1} )
   Мы знаем, что:

   \int \frac{dx}{x^2 + 1} = \arctan x

   Значит:

   \int \frac{-1}{x^2 + 1} \,dx = -\arctan x

Шаг 4: Записываем финальный ответ

\int \frac{x^4 - 1}{x^2 + 1} \,dx = \frac{x^3}{3} - x - \arctan x + C

Ответы:

1.7) \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C
1.8) \frac{x^3}{3} - x - \arctan x + C

Готово! 🎉