Предмет: Математика

Раздел: Интегральное исчисление

Дано задание:

найти определенный интеграл \[ \int_{0}^{1} \frac{x^3}{4 \sqrt{1-x^4}} \, dx \]

Решение:

1. Упростим подынтегральное выражение:

Выносим постоянный множитель 1/4 за знак интеграла: \[ \int_{0}^{1} \frac{x^3}{4 \sqrt{1-x^4}} \, dx = \frac{1}{4} \int_{0}^{1} \frac{x^3}{\sqrt{1-x^4}} \, dx \]

2. Замена переменной:

Рассмотрим замену переменной \( u = x^4 \), тогда \( du = 4x^3 \, dx \). Соответственно \( dx = \frac{du}{4x^3} \). Меняем пределы интегрирования. Если \( x = 0 \), то \( u = 0^4 = 0 \). Если \( x = 1 \), то \( u = 1^4 = 1 \). Теперь подставляем в интеграл: \[ \frac{1}{4} \int_{0}^{1} \frac{x^3}{\sqrt{1-u}} \cdot \frac{du}{4x^3} \] Замечаем, что \( x^3 \) в числителе и знаменателе сокращается: \[ \frac{1}{4} \int_{0}^{1} \frac{1}{4\sqrt{1-u}} \, du \]

3. Упрощение выражения:

Выносим \( \frac{1}{4} \) за знак интеграла: \[ \frac{1}{16} \int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{1-u}} \, du \]

4. Интегрирование:

Теперь найдем интеграл: \[ \int \frac{1}{\sqrt{1-u}} \, du \] Это стандартный интеграл, результат которого равен: \[ \int \frac{1}{\sqrt{1-u}} \, du = 2 \sqrt{1-u} \] Теперь подставляем пределы интегрирования: \[ \frac{1}{16} \left[ 2\sqrt{1-u} \right]_{0}^{1} \] Находим значения на верхнем и нижнем пределе: \[ \frac{1}{16} (2\sqrt{1-1} - 2\sqrt{1-0}) = \frac{1/16} (2 \cdot 0 - 2 \cdot 1) = \frac{1}{16} (-2) = -\frac{1}{8} \]

Таким образом, значение интеграла: \[ \int_{0}^{1} \frac{x^3}{4 \sqrt{1-x^4}} \, dx = -\frac{1}{8} \]