Найти параметры линейной зависимости методом наименьших квадратов

Этот вопрос относится к предмету «Математика», разделу «Статистика» или «Анализ данных».

Задача состоит в нахождении параметров линейной зависимости методом наименьших квадратов. Метод наименьших квадратов отвечает за нахождение прямой линии (y = a + bx), которая наилучшим образом приближает заданный набор точек.

Даны следующие данные: \( x = [2.1, 3.0, 3.2, 3.9, 4.1] \) \( y = [3.4, 8.1, 9.2, 12.6, 13.3] \)

Шаг 1: Найдем средние значения \( x \) и \( y \):

\[ \bar{x} = \dfrac{2.1 + 3.0 + 3.2 + 3.9 + 4.1}{5} = \dfrac{16.3}{5} = 3.26 \]

\[ \bar{y} = \dfrac{3.4 + 8.1 + 9.2 + 12.6 + 13.3}{5} = \dfrac{46.6}{5} = 9.32 \]

Шаг 2: Найдем значения \( S_{xx} \) и \( S_{xy} \):

\[ S_{xx} = \sum (x_i - \bar{x})^2 = (2.1 - 3.26)^2 + (3.0 - 3.26)^2 + (3.2 - 3.26)^2 + (3.9 - 3.26)^2 + (4.1 - 3.26)^2 \]

\[ = (-1.16)^2 + (-0.26)^2 + (-0.06)^2 + (0.64)^2 + (0.84)^2 \]

\[ = 1.3456 + 0.0676 + 0.0036 + 0.4096 + 0.7056 = 2.532 \]

\[ S_{xy} = \sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y}) = (2.1 - 3.26)(3.4 - 9.32) + (3.0 - 3.26)(8.1 - 9.32) + (3.2 - 3.26)(9.2 - 9.32) + (3.9 - 3.26)(12.6 - 9.32) + (4.1 - 3.26)(13.3 - 9.32) \]

\[ = (-1.16)(-5.92) + (-0.26)(-1.22) + (-0.06)(-0.12) + (0.64)(3.28) + (0.84)(3.98) \]

\[ = 6.852 + 0.3172 + 0.0072 + 2.0992 + 3.3432 = 12.6192 \]

Шаг 3: Найдем коэффициенты \( b \) и \( a \):

\[ b = \dfrac{S_{xy}}{S_{xx}} = \dfrac{12.6192}{2.532} = 4.98 \]

\[ a = \bar{y} - b \bar{x} = 9.32 - 4.98 \cdot 3.26 = 9.32 - 16.2348 = -6.9148 \]

Итак, уравнение зависимости имеет вид:

\[ y = -6.9148 + 4.98x \]

Решение: Параметры линейной зависимости, найденные методом наименьших квадратов: \( a = -6.9148 \) и \( b = 4.98 \). Линейное уравнение: \( y = -6.9148 + 4.98x \).