Найти основные свойства функций

Это задание относится к теме математика, в частности к разделу математический анализ и свойства функций. Разберем необходимые свойства функции \( f(x) = \frac{x}{x-2} \).

1. Область определения:

Область определения (D(f)) функции — это множество значений, которые может принимать независимая переменная \(x\), чтобы выражение для функции было определено. В данном случае, функция имеет дробь, а знаменатель дроби не должен быть равен нулю, ведь делить на ноль нельзя. \[ x - 2 \neq 0 \] \[ x \neq 2 \] Значит, область определения функции: \[ D(f) = (-\infty; 2) \cup (2; +\infty) \]

2. Множество значений:

Множество значений (E(f)) — это все возможные значения, которые может принимать функция \(f(x)\). Рассмотрим поведение функции. Для значений \(x\), стремящихся к бесконечности (или минус бесконечности), функция приближается к 1, так как: \[ \lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{x}{x - 2} = 1 \] Также анализируем разрыв в \(x = 2\): При \(x \to 2^{-}\), функция \(f(x)\) стремится к минус бесконечности, а при \(x \to 2^{+}\) — к плюс бесконечности. Следовательно, функция может принимать все значения, кроме \(f(x) = 1\). Множество значений: \[ E(f) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty) \]

3. Четность/нечетность:

Чтобы проверить четность или нечетность функции, нужно сравнить \(f(x)\) и \(f(-x)\). Функция четная, если \(f(-x) = f(x)\), и нечетная, если \(f(-x) = -f(x)\). Найдем \(f(-x)\): \[ f(-x) = \frac{-x}{-x - 2} = \frac{-x}{-(x+2)} = \frac{x}{x+2} \] \( f(-x) \neq f(x)\) и \(f(-x) \neq -f(x)\), следовательно, функция не является ни четной, ни нечетной.

4. Периодичность:

Функция является периодической, если существует число \(T\), такое что для любого \(x\) выполняется равенство: \[ f(x + T) = f(x) \] Проверим возможность периодичности функции. Данное выражение не имеет естественного периода, так как оно содержит асимптоту в \(x = 2\), и структура функции не позволяет ей быть периодической. Вывод: Функция не является периодической.

1. Область определения: \(D(f) = (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)\)
2. Множество значений: \(E(f) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)\)
3. Четность/нечетность: Функция нечетная и не четная.
4. Периодичность: Функция не является периодической.

Вопрос или текст не предоставлен. Пожалуйста, отправьте текст, чтобы я мог выполнить преобразование из markdown в HTML с учетом указанных требований!