Это задание относится к математическому анализу, а конкретно к теме пределов функций и их односторонних пределов.
Условие задачи:
Требуется найти односторонний предел функции при \( x \to 2+0 \). Функция задана кусочно: \[
f(x) = \begin{cases}
\dfrac{x - 3}{x - 2}, & x < 2, \\
x + 5, & x \geq 2.
\end{cases}
\]
1. Определение и суть задачи
- Предел \(\lim_{x \to 2+0} f(x)\) обозначает значение функции \(f(x)\), когда \(x\) стремится к 2 справа, то есть для значений \(x\), которые чуть больше 2.
- Для этого мы проверим поведение функции \(f(x)\) при \(x \geq 2\), потому что интересует именно приближение к 2 справа.
2. Выбор подходящей части функции
- Функция \(f(x)\) задана кусочно. Теперь определим, какую «кусочную» часть функции использовать:
- Если \(x \geq 2\), то функция определяется как \(f(x) = x + 5\).
- Так как нас интересует значение при \(x \to 2+0\), т.е., когда \(x\) находится чуть больше значения 2, нам следует использовать второе выражение функции: \(f(x) = x + 5\).
3. Найдем односторонний предел:
Подставим \(x = 2\) в выражение \(f(x) = x + 5\), так как мы исследуем \(x \to 2+0\): \[
\lim_{x \to 2+0} f(x) = \lim_{x \to 2+0} (x + 5) = 2 + 5 = 7.
\]
Ответ:
\[
\lim_{x \to 2+0} f(x) = 7.
\]
4. Обоснование метода:
- Мы использовали часть функции \(f(x) = x + 5\), которая задается при \(x \geq 2\), так как \(x \to 2\) справа означает, что \(x\) принимает значения чуть больше 2.
- Замена \(x\) на конкретное значение 2 в данном случае корректна, так как функция непрерывна для \(x \geq 2\).