Найти объём выпуска продукции за смену одного рабочего, используя функцию производительности труда

Предмет: Математика

Раздел: Математический анализ (интегральное исчисление)

Для решения задачи необходимо найти объём выпуска продукции за смену одного рабочего, используя функцию производительности труда, а затем масштабировать результат на 87 рабочих дней и 8 рабочих.

Дано:

• Производительность труда одного рабочего в течение смены описывается функцией:
  z(t) = 191.18 + 69.52t - 7.9t^2, где t — время в часах, прошедшее с начала смены.
• Смена длится 8 часов (t \in [0; 8]).
• Бригада состоит из 8 рабочих.
• Количество рабочих дней — 87.

Шаг 1. Найдём объём выпуска продукции за смену для одного рабочего.

Объём выпуска продукции за смену равен интегралу от функции z(t) по времени t на интервале [0; 8]:

 V_{\text{один\_рабочий}} = \int_0^8 z(t) \, dt = \int_0^8 \left(191.18 + 69.52t - 7.9t^2\right) \, dt. 

Рассчитаем интеграл. Интегрирование многочлена выполняется по правилу: \int t^n \, dt = \frac{t^{n+1}}{n+1} + C.

Интегрируем каждый член функции z(t):  \int z(t) \, dt = \int \left(191.18 + 69.52t - 7.9t^2\right) \, dt = 191.18t + \frac{69.52t^2}{2} - \frac{7.9t^3}{3} + C. 

Подставляем пределы интегрирования [0; 8]:  V_{\text{один\_рабочий}} = \left[191.18t + \frac{69.52t^2}{2} - \frac{7.9t^3}{3}\right]_0^8. 

Вычислим значения на верхнем и нижнем пределах:

1. При t = 8:  191.18 \cdot 8 + \frac{69.52 \cdot 8^2}{2} - \frac{7.9 \cdot 8^3}{3} = 1529.44 + \frac{69.52 \cdot 64}{2} - \frac{7.9 \cdot 512}{3}. 

   Упростим:  1529.44 + \frac{4449.28}{2} - \frac{4044.8}{3} = 1529.44 + 2224.64 - 1348.27 = 2405.81. 

2. При t = 0:  191.18 \cdot 0 + \frac{69.52 \cdot 0^2}{2} - \frac{7.9 \cdot 0^3}{3} = 0. 

Следовательно:  V_{\text{один\_рабочий}} = 2405.81 \, \text{ед. продукции}. 

Шаг 2. Найдём объём выпуска продукции за 87 рабочих дней для 8 рабочих.

Объём выпуска продукции за один рабочий день для всей бригады:  V_{\text{бригада\_1\_день}} = V_{\text{один\_рабочий}} \cdot 8 = 2405.81 \cdot 8 = 19246.48 \, \text{ед. продукции}. 

Объём выпуска продукции за 87 рабочих дней:  V_{\text{бригада\_87\_дней}} = V_{\text{бригада\_1\_день}} \cdot 87 = 19246.48 \cdot 87 = 1674444.76 \, \text{ед. продукции}. 

Ответ:

Объём выпуска продукции за 87 рабочих дней бригадой из 8 рабочих составляет: 1674444.76 \, \text{ед. продукции}.