Найти объём тела, заданного ограничивающими его поверхностями x^2+y^2=y, x^2+y^2=4y, z=√(x^2+y^2), z=0

1. Предмет и раздел: Это задание относится к курсу математического анализа или аналитической геометрии.

Мы рассматриваем объём тела, который ограничен поверхностями, поэтому это задание связано с разделом многообразия и их объёмы, а также с использованием цилиндрических координат и тройных интегралов.

2. Постановка задачи: Мы ищем объём тела, ограниченного следующими поверхностями:

• \( x^2 + y^2 = y \) (кривая в плоскости \( z = 0 \), описывающая нижнюю часть тела),
• \( x^2 + y^2 = 4y \) (ещё одна кривая в плоскости \( z = 0 \)),
• \( z = \sqrt{x^2 + y^2} \) (верхняя поверхность в пространстве),
• \( z = 0 \) (плоскость основания).

3. Преобразование уравнений в удобной форме:

Начнём с кривых в плоскости \( x, y \):

Уравнение 1: \( x^2 + y^2 = y \)

Перепишем уравнение: \[ x^2 + y^2 = y \Rightarrow x^2 + y^2 - y = 0 \Rightarrow x^2 + (y - \frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}. \] Это уравнение описывает окружность с центром в точке \( \left( 0, \frac{1}{2} \right) \) и радиусом \( \frac{1}{2} \).

Уравнение 2: \( x^2 + y^2 = 4y \)

Так же, приводим к удобной форме: \[ x^2 + y^2 = 4y \Rightarrow x^2 + y^2 - 4y = 0 \Rightarrow x^2 + (y - 2)^2 = 4. \] Это уравнение описывает окружность с центром в точке \( (0, 2) \) и радиусом \( 2 \).

4. Переход к полярным координатам:

Теперь перейдём к полярным координатам. В этом случае: \[ x = r \cos \theta, \quad y = r \sin \theta. \]

Тогда для заданных уравнений:

• \( x^2 + y^2 = r^2 \), это просто радиус \( r \) в полярных координатах.
• Перепишем наши уравнения в полярной системе:
  1. \( x^2 + y^2 = y \Rightarrow r^2 = r \sin \theta \Rightarrow r = \sin \theta \).
  2. \( x^2 + y^2 = 4y \Rightarrow r^2 = 4r \sin \theta \Rightarrow r = 4\sin \theta \) (при \( r \neq 0 \)).

Таким образом, область интегрирования ограничена линиями \( r = \sin \theta \) и \( r = 4\sin \theta \).

5. Интеграл для объёма:

Объём тела можно найти как тройной интеграл: \[ V = \int \int \int_V dV. \] В цилиндрической системе координат элемент объёма записывается как: \[ dV = r \, dz \, dr \, d\theta. \]

Теперь границы для переменных:

• \( r \) изменяется от \( \sin \theta \) до \( 4 \sin \theta \),
• \( z \) изменяется от \( 0 \) до \( \sqrt{r^2} = r \),
• \( \theta \) изменяется от \( 0 \) до \( \pi \) (поскольку все кривые находятся выше оси \( x \)).

Объём тогда записывается как тройной интеграл: \[ V = \int_0^\pi \int_{\sin \theta}^{4 \sin \theta} \int_0^r r \, dz \, dr \, d\theta. \]

6. Решение интеграла:

Сначала вычислим интеграл по \( z \): \[ \int_0^r r \, dz = r \cdot r = r^2. \]

Подставляем результат: \[ V = \int_0^\pi \int_{\sin \theta}^{4 \sin \theta} r^2 \, dr \, d\theta. \]

Теперь вычислим интеграл по \( r \): \[ \int_{\sin \theta}^{4 \sin \theta} r^2 \, dr = \frac{r^3}{3} \Big|_{\sin \theta}^{4 \sin \theta} = \frac{(4 \sin \theta)^3}{3} - \frac{(\sin \theta)^3}{3} = \frac{64 \sin^3 \theta}{3} - \frac{\sin^3 \theta}{3} = \frac{63 \sin^3 \theta}{3}. \]

Теперь интеграл имеет вид: \[ V = \int_0^\pi \frac{63 \sin^3 \theta}{3} \, d\theta = 21 \int_0^\pi \sin^3 \theta \, d\theta. \]

Для нахождения интеграла \( \int_0^\pi \sin^3 \theta \, d\theta \) используем известную формулу: \[ \int_0^\pi \sin^n \theta \, d\theta = \frac{(n-1)!!}{n!!} \cdot \pi, \quad n = 3. \]

Тогда: \[ \int_0^\pi \sin^3 \theta \, d\theta = \frac{4}{3}. \]

Подставляем значение: \[ V = 21 \cdot \frac{4}{3} = 28. \]

7. Ответ: Объём тела равен \( V = 28 \) единиц объёма.