Найти объём тела, ограниченного поверхностями

Определение предмета и раздела

Это задание относится к математике, а конкретно к разделу многомерного математического анализа, к теме, касающейся вычисления объемов тел с помощью кратных интегралов. Теперь перейдем к решению задачи.

Дано:

Нужно найти объем тела, ограниченного поверхностями:

1. \( z = 6\sqrt{x^2 + y^2} \) (поверхность №1),
2. \( z = 16 - x^2 - y^2 \) (поверхность №2).

Эти поверхности определяют тело, при этом \( z = 6\sqrt{x^2 + y^2} \) — это коническая поверхность, а \( z = 16 - x^2 - y^2 \) — это параболоид.

Поиск области пересечения поверхностей

Для расчета объема тела, нам нужно сначала определить линию пересечения поверхностей, чтобы определить пределы интегрирования. Для этого приравняем \( z \)-координаты данных поверхностей:

\[ 6\sqrt{x^2 + y^2} = 16 - x^2 - y^2 \]

Теперь преобразуем это уравнение. Для удобства заменим \( x^2 + y^2 \) на \( r^2 \), где \( r \) — это радиальная координата в полярной системе координат.

\[ 6r = 16 - r^2 \]

Переносим все в одну сторону и решаем квадратное уравнение относительно \( r \):

\[ r^2 + 6r - 16 = 0 \]

Решим это уравнение с помощью дискриминанта:

\[ D = 6^2 - 4(1)(-16) = 36 + 64 = 100 \]

Решения уравнения:

\[ r = \frac{-6 \pm \sqrt{100}}{2} = \frac{-6 \pm 10}{2} \]

Итак, два корня:

\[ r_1 = \frac{-6 + 10}{2} = 2, \quad r_2 = \frac{-6 - 10}{2} = -8 \]

Положительный корень \( r_1 = 2 \) — это радиус области пересечения поверхностей.

Формирование интеграла

Для вычисления объема используем двойной интеграл в полярных координатах. Параметры \( r \) и \( \theta \) будут меняться в зависимости от области пересечения.

• \( 0 \leq r \leq 2 \) (радиус от \( 0 \) до линии пересечения \( r = 2 \)),
• \( 0 \leq \theta \leq 2\pi \) (угол \( \theta \) изменяется на полный круг \( 2\pi \)).

Объем тела можно найти, вычитая одну поверхность из другой в пределах указанных границ:

\[ V = \int_0^{2\pi} \int_0^2 \left[ (16 - r^2) - 6r \right] r \, dr \, d\theta \]

Расчет объема

Теперь решим внутренний интеграл по \( r \):

\( V = \int_0^{2\pi} \int_0^2 (16r - r^3 - 6r^2) \, dr \, d\theta \)

Развернем выражение под интегралом:

\[ (16 - r^2 - 6r)r = 16r - r^3 - 6r^2 \]

Теперь интегрируем это по \( r \) от 0 до 2:

\[ \int_0^2 (16r - r^3 - 6r^2) \, dr = \left[ \frac{16r^2}{2} - \frac{r^4}{4} - 6\frac{r^3}{3} \right]_0^2 \]

Подставим пределы \( r = 2 \) и \( r = 0 \):

\[ = \left( \frac{16 \cdot 2^2}{2} - \frac{2^4}{4} - 6 \cdot \frac{2^3}{3} \right) - 0 \]

\[ = \left( 32 - 4 - 16 \right) \]

\( = 12 - 16 = -\frac{8}{3} \)