Найти общее решение уравнения

Это задание из области математики, а точнее из раздела дифференциальных уравнений. Дано дифференциальное уравнение:

xy' - 2y = 2x^3

Найдем общее решение уравнения.

Шаг 1: Преобразование уравнения

Приведем уравнение к стандартной форме:

xy' - 2y = 2x^3

Для этого разделим все на x:

y' - \frac{2}{x}y = 2x^2

Шаг 2: Определение вида уравнения

Уравнение имеет вид:

y' + p(x)y = q(x)

где p(x) = -\frac{2}{x} и q(x) = 2x^2. Это линейное дифференциальное уравнение первого порядка.

Шаг 3: Метод интегрирующего множителя

Для решения уравнения используется метод интегрирующего множителя. Интегрирующий множитель вычисляется как:

\mu(x) = e^{\int p(x) \, dx}

Подставим наше p(x):

\mu(x) = e^{\int -\frac{2}{x} \, dx} = e^{-2 \ln|x|} = e^{\ln|x^{-2}|} = x^{-2}

Шаг 4: Применение интегрирующего множителя

Умножим исходное уравнение на интегрирующий множитель x^{-2}:

x^{-2} y' - \frac{2}{x} \cdot x^{-2} y = 2x^2 \cdot x^{-2}

Получаем:

x^{-2} y' - 2x^{-3} y = 2

Шаг 5: Приведение к виду производной

Левая часть уравнения становится полной производной от произведения:

\frac{d}{dx} \left( x^{-2} y \right) = 2

Шаг 6: Интегрирование обеих частей уравнения

Интегрируем обе части уравнения:

\int \frac{d}{dx} \left( x^{-2} y \right) \, dx = \int 2 \, dx

x^{-2} y = 2x + C

где C - постоянная интегрирования.

Шаг 7: Решение для y

Теперь выразим y:

y = x^2 (2x + C)

y = 2x^3 + Cx^2

Ответ: Общее решение уравнения:

y = 2x^3 + Cx^2