Найти общее решение дифференциального уравнения.

Предмет: Дифференциальные уравнения

Раздел: Линейные дифференциальные уравнения второго порядка

Дано дифференциальное уравнение: \( y'' - 11y' + 18y = 680e^{-8x} \)

Это линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами и заданной правой частью. Для того чтобы найти общее решение, нужно найти общее решение однородного уравнения и частное решение неоднородного уравнения.

1. Решение однородного уравнения: Начнем с решения однородного уравнения: \( y'' - 11y' + 18y = 0 \)

   Для этого составим характеристическое уравнение: \( r^2 - 11r + 18 = 0 \)

   Решим характеристическое уравнение: \( r = \frac{11 \pm \sqrt{(-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 18}}{2 \cdot 1} = \frac{11 \pm \sqrt{121 - 72}}{2} = \frac{11 \pm \sqrt{49}}{2} \) \( r = \frac{11 \pm 7}{2} \) \( r_1 = \frac{18}{2} = 9 \) \( r_2 = \frac{4}{2} = 2 \)

   Значения корней характеристического уравнения: \( r_1 = 9 \), \( r_2 = 2 \). Общее решение однородного уравнения будет: \( y_h(x) = C_1e^{9x} + C_2e^{2x} \)

2. Частное решение неоднородного уравнения: Теперь найдем частное решение \( y_p \) уравнения: \( y'' - 11y' + 18y = 680e^{-8x} \)

   Основываясь на форме правой части уравнения (\( 680e^{-8x} \)), попробуем заменить частное решение в виде: \( y_p = Ae^{-8x} \)

   Найдем первую и вторую производные \( y_p \): \( y_p' = -8Ae^{-8x} \) \( y_p'' = 64Ae^{-8x} \)

   Подставим \( y_p \), \( y_p' \) и \( y_p'' \) в оригинальное дифференциальное уравнение: \( 64Ae^{-8x} - 11(-8Ae^{-8x}) + 18Ae^{-8x} = 680e^{-8x} \) \( 64A + 88A + 18A = 680 \) \( 170A = 680 \) \( A = 4 \)

   Таким образом, частное решение: \( y_p = 4e^{-8x} \)

3. Общее решение исходного уравнения: Составим общее решение исходного уравнения, объединяя общее решение однородного уравнения и частное решение неоднородного уравнения: \( y(x) = y_h + y_p = C_1e^{9x} + C_2e^{2x} + 4e^{-8x} \)

   Ответ: \( y(x) = C_1e^{9x} + C_2e^{2x} + 4e^{-8x} \) где \( C_1 \) и \( C_2 \) – произвольные постоянные.