Найти общий интеграл дифференциального уравнения

Это задание из предмета "Математика", раздел "Дифференциальные уравнения".

Нам нужно определить тип уравнения и найти его общий интеграл. Дано дифференциальное уравнение: \[ y' = \frac{x^2 + 2xy - y^2}{2x^2 - 2xy}. \]

1. Сокращение и упрощение уравнения: Чтобы лучше видеть структуру уравнения, проверим возможно ли сократить его: \[ y' = \frac{x^2 + 2xy - y^2}{2(x^2 - xy)}. \] Давайте посмотрим в какую форму мы можем упростить это уравнение с помощью подстановок. Мы видим, что \[x^2 - xy\] встречается в знаменателе.

2. Подстановка: Чтобы исследовать это уравнение, попробуем одну из классических подстановок. Например, подставим \( v = \frac{y}{x} \), тогда \( y = vx \) и производная \( y' \) становится: \[ y' = v + x \frac{dv}{dx}. \] Подставим \( y = vx \): \[ y' = \frac{x^2 + 2x(vx) - (vx)^2}{2x^2 - 2x(vx)}. \] \[ = \frac{x^2 + 2vx^2 - v^2x^2}{2x^2 - 2vx^2}. \] \[ = \frac{x^2(1 + 2v - v^2)}{2x^2(1 - v)}. \] Теперь сократим на \( x^2 \): \[ y' = \frac{1 + 2v - v^2}{2(1 - v)}. \]

3. Замена производных: Подставим \(y' = v + x \frac{dv}{dx}\): \[ v + x \frac{dv}{dx} = \frac{1 + 2v - v^2}{2(1 - v)}. \] Тогда: \[ x \frac{dv}{dx} = \frac{1 + 2v - v^2}{2(1 - v)} - v. \] Приведем к общему знаменателю в правой части: \[ x \frac{dv}{dx} = \frac{1 + 2v - v^2 - 2v(1 - v)}{2(1 - v)}. \] \[ = \frac{1 + 2v - v^2 - 2v + 2v^2}{2(1 - v)}. \] \[ = \frac{1 + v^2}{2(1 - v)}. \] Таким образом, уравнение сводится к: \[ x \frac{dv}{dx} = \frac{1 + v^2}{2(1 - v)}. \]

4. Разделение переменных: Теперь разделим переменные для дальнейшего интегрирования: \[ \frac{2(1 - v)}{1 + v^2} dv = \frac{dx}{x}. \] Интегрируем обе части уравнения: \[ 2 \int \frac{1 - v}{1 + v^2} dv = \int \frac{dx}{x}. \]

5. Интегрирование: Разделим интеграл в левой части: \[ 2 \int \left( \frac{1}{1 + v^2} - \frac{v}{1 + v^2} \right) dv = \int \frac{dx}{x}. \] Первый интеграл это стандартный арктангенс: \[ 2 \left( \tan^{-1}(v) - \frac{1}{2} \ln |1 + v^2| \right) = \ln |x| + C. \] Преобразуем: \[ 2\tan^{-1}(v) - \ln |1 + v^2| = \ln |x| + C. \] Подставим назад \( v = \frac{y}{x} \): \[ 2\tan^{-1} \left( \frac{y}{x} \right) - \ln \left| 1 + \left( \frac{y}{x} \right)^2 \right| = \ln |x| + C. \] Этот интеграл и закончит получение решения исходного дифференциального уравнения.