Найти обратную матрицу для заданной матрицы

Предмет: Линейная алгебра

Раздел: Матрицы и определители

В этой задаче требуется найти обратную матрицу для заданной матрицы A:

\[ A = \begin{pmatrix} 4 & -1 & 2 \\ 1 & 1 & -2 \\ 0 & 1 & 3 \end{pmatrix} \]

Шаг 1: Найдем определитель матрицы A

Для начала вычислим детерминант данной матрицы. Для матрицы 3x3 это можно сделать по правилу минора:

\[ \text{det}(A) = 4 \cdot \text{det} \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} - (-1) \cdot \text{det} \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} + 2 \cdot \text{det} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \]

Для детерминантов матриц 2x2 используем формулу:

\[ \text{det} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = a \cdot d - b \cdot c \]

Теперь вычислим каждую детерминанту:

1. \[ \text{det} \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} = 1 \cdot 3 - (-2) \cdot 1 = 3 + 2 = 5 \]
2. \[ \text{det} \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} = 1 \cdot 3 - (-2) \cdot 0 = 3 \]
3. \[ \text{det} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = 1 \cdot 1 - 1 \cdot 0 = 1 \]

Теперь подставляем эти значения обратно в формулу для детерминанта:

\[ \text{det}(A) = 4 \cdot 5 - (-1) \cdot 3 + 2 \cdot 1 = 20 + 3 + 2 = 25 \]

Шаг 2: Найдем матрицу алгебраических дополнений

Теперь необходимо найти алгебраические дополнения для каждого элемента матрицы. Алгебраическое дополнение элемента \(a_{ij}\) — это минор элемента \((i, j)\) с соответствующим знаком \((-1)^{i+j}\). Для каждого элемента находим миноры:

• \( \text{C}_{11} = \text{det} \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} = 5 \)
• \( \text{C}_{12} = -\text{det} \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} = -3 \)
• \( \text{C}_{13} = \text{det} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = 1 \)
• \( \text{C}_{21} = -\text{det} \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} = (-1) \cdot (-5) = -5 \)
• \( \text{C}_{22} = \text{det} \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} = 12 \)
• \( \text{C}_{23} = -\text{det} \begin{pmatrix} 4 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = 4 \)
• \( \text{C}_{31} = \text{det} \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 1 & -2 \end{pmatrix} = (-1) \cdot (-4) + 2 = -4 \)
• \( \text{C}_{32} = -\text{det} \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 1 & -2 \end{pmatrix} = (-4) \cdot (-10) = -10 \)
• \( \text{C}_{33} \...\)