Найти область значений данных функций

Конечно! Давайте поочередно разберем каждую функцию, определим область значений и поясним каждое действие.

а) \( y = 1 + \cos(x) \)

Предмет: Математика

Раздел предмета: Тригонометрия

Решение:

1. Косинус: Функция \(\cos(x)\) принимает значения в интервале от -1 до 1 включительно, то есть \(\cos(x) \in [-1, 1]\).
2. Преобразование: Добавим 1 ко всем значениям функции \(\cos(x)\).
   • Если \(\cos(x) = -1\), то \( y = 1 + (-1) = 0\).
   • Если \(\cos(x) = 1\), то \( y = 1 + 1 = 2\).

Область значений: \( y \in [0, 2] \).

б) \( y = \arcsin(x) \)

Предмет: Математика

Раздел предмета: Тригонометрия, обратные тригонометрические функции

Решение:

1. Синус: Функция \(\sin(y)\) принимает значения в интервале от -1 до 1 включительно, то есть \(\sin(y) \in [-1, 1]\).
2. Обратная функция: Обратная функция \(\arcsin(x)\) определена на отрезке \([-1, 1]\) и принимает значения от \(-\frac{\pi}{2}\) до \(\frac{\pi}{2}\).

Область значений: \( y \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] \).

в) \( y = \frac{x^2}{1 + x^2} \)

Предмет: Математика

Раздел предмета: Анализ функции

Решение:

1. Преобразование функции: Рассмотрим выражение \(\frac{x^2}{1 + x^2}\).
   • Если \( x = 0 \), то \( y = \frac{0^2}{1 + 0^2} = 0 \).
   • Если \( x \to \infty \) или \( x \to -\infty \), то \( y \to 1 \), так как \(\frac{x^2}{1 + x^2} \to 1\) при больших значениях \( |x| \).
2. Производные: Поскольку \( x^2 \geq 0 \), то и \(\frac{x^2}{1 + x^2} \geq 0\), и значение этой дроби всегда меньше 1.

Область значений: \( y \in [0, 1] \).

г) \( y = \arcsin(\sin(x)) \)

Предмет: Математика

Раздел предмета: Тригонометрия, обратные тригонометрические функции

Решение:

1. Свойства функций:
   • Функция \(\sin(x)\) периодична с периодом \(2\pi\).
   • Обратная функция \(\arcsin(x)\) определяет угол в диапазоне \(\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]\).
2. Периодичность:
   • Если \( x \) принадлежит промежутку \(\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]\), то \( \arcsin(\sin(x)) = x \).
   • Если \( x \) находится вне этого промежутка, то \(\arcsin(\sin(x))\) возвращает значение, которое попадает в \(\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]\).

Область значений: \( y \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] \).

Надеюсь, это помогло! Если у вас есть дополнительные вопросы, пожалуйста, дайте знать!