Найти область сходимости ряда

Предмет: Математика

Раздел: Ряды

Условие задачи:

Нужно найти область сходимости ряда: \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n+2)^{-x^2 + 8x + 34}} \]

Для этого необходимо определить значения \( x \), при которых ряд сходится.

Шаг 1: Рассмотрим общее выражение последовательности

Обозначим общий член ряда как \( a_n = \frac{1}{(n+2)^{-x^2 + 8x + 34}} \). Этот ряд будет сходиться, если общее выражение стремится к нулю быстрее, чем гармонический ряд. Для этого необходимо исследовать показатель степени в выражении \((n+2)^{-x^2 + 8x + 34}\).

Шаг 2: Анализ поведения последовательности

Так как \( (n+2)^{-x^2 + 8x + 34} \), мы можем записать дробь следующим образом: \[ a_n = (n+2)^{x^2 - 8x - 34} \]

Теперь нам нужно анализировать степень сравнения со значением \(-1\) для сходимости:

1. Если \( x^2 - 8x - 34 > 1 \), то последовательность будет убывать быстрее гармонического ряда, и ряд будет сходиться.
2. Если \( x^2 - 8x - 34 \leq 1 \), то ряд расходится.

Шаг 3: Решение неравенства

Решим неравенство: \[ x^2 - 8x - 34 > 1 \] \[ x^2 - 8x - 35 > 0 \]

Для решения квадратного неравенства найдем корни соответствующего квадратного уравнения: \[ x^2 - 8x - 35 = 0 \]

Решим уравнение по формуле: \[ x_{1,2} = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 140}}{2} = \frac{8 \pm \sqrt{204}}{2} \] \[ x_{1,2} = \frac{8 \pm 2\sqrt{51}}{2} \] \[ x_{1} = 4 + \sqrt{51} \] \[ x_{2} = 4 - \sqrt{51} \]

Теперь разбиваем ось на интервалы и определяем знаки: \[ ( -\infty, 4 - \sqrt{51}), (4 - \sqrt{51}, 4 + \sqrt{51}), (4 + \sqrt{51}, +\infty ) \]

Для конечного решения выберем открытый интервал: \[ (-\infty, 4 - \sqrt{51}) \cup (4 + \sqrt{51}, +\infty) \]

Шаг 4: Определим целые числа, входящие в эту область

Оценим \( \sqrt{51} \approx 7.14 \), \[ 4 - \sqrt{51} \approx -3.14 \quad \text{и} \quad 4 + \sqrt{51} \approx 11.14 \]

Таким образом, целые числа: \(-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11\)

Количество целых чисел в области: [4, 10] или -3 соответствует целых чисел

Ответ: 15