Найти область сходимости функционального ряда

Условие:

Найти область сходимости функционального ряда

Решение:

На картинке представлен функциональный ряд: \[ \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{e^{-nx}}{n}. \] Для нахождения области сходимости такого ряда можно использовать признак Лейбница для знакочередующихся рядов. Согласно этому признаку, если выполняются два условия: 1. \( |a_{n+1}| \le |a_n| \), где \( a_n = \frac{e^{-nx}}{n} \) (убывание модуля общего члена ряда), 2. \( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \), то знакочередующийся ряд сходится. Для первого условия, так как экспонента \( e^{-nx} \) и функция \( 1/n \) убывают с ростом n при \( x > 0 \), то условие убывания модуля общего члена ряда выполняется для всех \( x > 0 \). Для второго условия, предел общего члена ряда при \( n \to \infty \) равен 0 при \( x > 0 \), так как экспонента стремится к 0 быстрее, чем растет \( n \). Таким образом, ряд сходится для всех \( x > 0 \). Если при \( x = 0 \) взять предел члена ряда \( a_n \), то получится \(\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0\), но в данном случае не учитывается знакочередование. Так как знакочередующийся ряд с положительными слагаемыми при \( x = 0 \) даёт гармонический ряд, который расходится, то \( x = 0 \) не является точкой сходимости ряда. Следовательно, исходя из этого анализа, область сходимости данного ряда \( x \in (0, \infty) \).