Найти область определения функции f(x) = arcsin(|x| -2)- arccos|x-4|

Давайте определим предмет и раздел предмета, к которому относится задание.

Предмет: математика

Раздел предмета: математический анализ (исследование функций)

Задание: Найти область определения функции \( f(x) = \arcsin(|x| - 2) - \arccos(|x-4|) \).

Для поиска области определения функции, содержащей обратные тригонометрические функции (арксинус и арккосинус), необходимо учитывать их области определения. Напомним себе условные области определения для арксинуса и арккосинуса:

1. \(\arcsin(y)\) определен при \( -1 \leq y \leq 1 \).
2. \(\arccos(y)\) определен при \( -1 \leq y \leq 1 \).

Теперь исследуем каждую часть функции \(\ f(x) \) отдельно:

1. \( \arcsin(|x| - 2) \)

Условие для функции \( \arcsin(y) \) будет \( -1 \leq |x| - 2 \leq 1 \). Разделим это условие на два неравенства:

• \( |x| - 2 \geq -1 \)
• \( |x| - 2 \leq 1 \)

Рассмотрим первое неравенство:

Теперь разберёмся со вторым неравенством:

Из этого следует:

2. \( \arccos(|x-4|) \)

Условие для функции \( \arccos(y) \) будет \( -1 \leq |x-4| \leq 1 \).

Рассмотрим это условие:

Решим систему неравенств:

Теперь у нас есть два диапазона, которые должны быть удовлетворены:

• \( |x| \leq 3 \) и \( |x| \geq 1 \)
• \( 3 \leq x \leq 5 \)

Сравниваем \( x \) из двух диапазонов:

• \( |x| \leq 3 \)
• \( |x| \geq 1 \)
• \( 3 \leq x \leq 5 \)

Теперь учтем, что на это должно выполняться оба условия одновременно. Получаем:

Для решения систем уравнений:

• \( 3 \leq x \leq 5 \)

Заключение

Таким образом, область определения функции \( f(x) = \arcsin(|x| - 2) - \arccos(|x-4|) \) равна \( x \in [3, 5] \).