Найти область определения функции

Определение предмета и раздела:

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ (исследование функций и их области определения).

Задание:

Найти область определения функции: \[ z = \frac{1}{x^2 + y^2 - 6}. \]

Решение:

Область определения функции определяется как множество всех значений переменных \(x\) и \(y\), при которых функция имеет смысл. В данном случае функция рациональная, а знаменатель \(x^2 + y^2 - 6\) не должен быть равен нулю (так как деление на ноль невозможно).

1. Для области определения выполняется условие: \[ x^2 + y^2 - 6 \neq 0. \]
2. Решим уравнение \(x^2 + y^2 - 6 = 0\), чтобы понять, где функция не определена: \[ x^2 + y^2 = 6. \] Это уравнение окружности с центром в точке \( (0, 0) \) и радиусом \( R = \sqrt{6} \).
3. Таким образом, функция не определена на окружности: \[ x^2 + y^2 = 6. \]
4. Область определения функции: \[ D = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \ | \ x^2 + y^2 \neq 6\}. \]

Иными словами, область определения \(D\) включает всю плоскость \((x, y)\), за исключением точек, лежащих на окружности радиуса \(\sqrt{6}\) с центром в начале координат.

Ответ:

Область определения функции: \[ D = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \ | \ x^2 + y^2 \neq 6\}. \]