Найти область определения функции

Предмет и раздел:

Данное задание относится к математике, разделу математический анализ (функции нескольких переменных).

Задание:

Найти область определения функции: \[ z = \frac{\sqrt{xy}}{x^2 + y^2}. \]

Решение:

Чтобы найти область определения функции \(z(x, y)\), нужно определить, при каких значениях \(x\) и \(y\) данная функция корректно определена.

1. Условия из подкоренного выражения:

Подкоренное выражение \(\sqrt{xy}\) определено, если: \[ xy \geqslant 0. \]

Другими словами:

• \(x \cdot y\) должно быть больше или равно нулю.
• Это означает, что \(x\) и \(y\) должны быть либо оба положительны (\(x > 0, y > 0\)), либо оба отрицательны (\(x < 0, y < 0\)), либо \(x = 0\) или \(y = 0\).

2. Условия для знаменателя:

Знаменатель \(x^2 + y^2\) не должен быть равен нулю, так как на ноль делить нельзя. Значение \(x^2 + y^2 = 0\) достигается, когда \(x = 0\) и \(y = 0\). Поэтому:

\[ x^2 + y^2 \neq 0. \]

3. Объединение условий:

Из первого условия (\(xy \geqslant 0\)) \(x\) и \(y\) должны быть согласованы по знаку (оба положительны или оба отрицательны, или хотя бы один из них равен нулю). Из второго условия (\(x^2 + y^2 \neq 0\)) точка \((x, y) \neq (0, 0)\).

Записываем область определения:

Область определения можно записать следующим образом:

\[ D = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid xy \geqslant 0 \text{ и } (x, y) \neq (0, 0)\}. \]

Графически:

- Это две области: первая и третья четверти, исключая точку \((0, 0)\).

Вывод:

Область определения функции — это множество точек \(x, y\), где \(xy \geqslant 0\) и \( (x, y) \neq (0, 0) \).