Найти область определения функции

Предмет и раздел:

Данное задание относится к математике, разделу математический анализ (функции нескольких переменных).

Задание:

Найти область определения функции: $\text{[}z=\frac{\sqrt{xy}}{x^2+y^2}.\text{]}$

Решение:

Чтобы найти область определения функции $\text{(}z(x,y)\text{)}$, нужно определить, при каких значениях $\text{(}x\text{)}$ и $\text{(}y\text{)}$ данная функция корректно определена.

1. Условия из подкоренного выражения:

Подкоренное выражение $\text{(}\sqrt{xy}\text{)}$ определено, если: $\text{[}xy⩾0.\text{]}$

Другими словами:

• $\text{(}x\cdot y\text{)}$ должно быть больше или равно нулю.
• Это означает, что $\text{(}x\text{)}$ и $\text{(}y\text{)}$ должны быть либо оба положительны ($\text{(}x>0,y>0\text{)}$), либо оба отрицательны ($\text{(}x<0,y<0\text{)}$), либо $\text{(}x=0\text{)}$ или $\text{(}y=0\text{)}$.

2. Условия для знаменателя:

Знаменатель $\text{(}{x}^2+y^2\text{)}$ не должен быть равен нулю, так как на ноль делить нельзя. Значение $\text{(}{x}^2+y^2=0\text{)}$ достигается, когда $\text{(}x=0\text{)}$ и $\text{(}y=0\text{)}$. Поэтому:

$\text{[}{x}^2+y^2\ne 0.\text{]}$

3. Объединение условий:

Из первого условия ($\text{(}xy⩾0\text{)}$) $\text{(}x\text{)}$ и $\text{(}y\text{)}$ должны быть согласованы по знаку (оба положительны или оба отрицательны, или хотя бы один из них равен нулю). Из второго условия ($\text{(}{x}^2+y^2\ne 0\text{)}$) точка $\text{(}(x,y)\ne (0,0)\text{)}$.

Записываем область определения:

Область определения можно записать следующим образом:

$\text{[}D=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2\mid xy⩾0\text{ и }(x,y)\ne (0,0)\}.\text{]}$

Графически:

- Это две области: первая и третья четверти, исключая точку $\text{(}(0,0)\text{)}$.

Вывод:

Область определения функции — это множество точек $\text{(}x,y\text{)}$, где $\text{(}xy⩾0\text{)}$ и $\text{(}(x,y)\ne (0,0)\text{)}$.