Найти область дифференцируемости

Предмет: Математический анализ

Раздел: Комплексный анализ

Рассмотрим функцию
 f(z) = \ln z .

1. Область дифференцируемости

Функция комплексного логарифма определяется как:
 \ln z = \ln |z| + i \arg z ,
где \arg z — аргумент комплексного числа.

Функция \ln z является аналитической везде, кроме точек, где z = 0 и где аргумент \arg z имеет разрыв (например, вдоль отрицательной вещественной оси при стандартном выборе ветви логарифма).

Следовательно, область дифференцируемости функции — это комплексная плоскость без нуля:
 \mathbb{C} \setminus \{0\} .

2. Вычисление производной

Производная логарифма в комплексном анализе имеет вид:
 f'(z) = \frac{d}{dz} \ln z = \frac{1}{z} .

3. Выделение действительной и мнимой частей

Запишем  z  в полярной форме:
 z = r e^{i\theta} ,
где  r = |z|  — модуль,  \theta = \arg z  — аргумент.

Тогда
 \frac{1}{z} = \frac{1}{r e^{i\theta}} = \frac{1}{r} e^{-i\theta} = \frac{1}{r} (\cos(-\theta) + i \sin(-\theta)) = \frac{1}{r} (\cos\theta - i \sin\theta) .

Отсюда:

• Действительная часть:  \operatorname{Re} f'(z) = \frac{\cos\theta}{r} .
• Мнимая часть:  \operatorname{Im} f'(z) = -\frac{\sin\theta}{r} .

Ответ:

1. Область дифференцируемости:  \mathbb{C} \setminus \{0\} .
2. Производная:  f'(z) = \frac{1}{z} .
3. Действительная часть:  \operatorname{Re} f'(z) = \frac{\cos\theta}{r} .
4. Мнимая часть:  \operatorname{Im} f'(z) = -\frac{\sin\theta}{r} .