Найти объем тела вращения

Представленное задание относится к разделу математики, а более конкретно - к математическому анализу и геометрии.

В задаче необходимо найти объем тела вращения, которое образовано вращением кривой вокруг оси координат. Уравнение кривой задано как \( y = \exp(x) \), где \( \exp(x) \) означает \( e^x \), где \( e \) является основанием натурального логарифма (приблизительно равным \( 2.71828 \)). Данные пределы интегрирования соответствуют вращению фигуры вокруг оси \( OX \) с \( x \) от 0 до 1.

Для вычисления объема используем формулу объема тела вращения, которую можно определить по методу цилиндрических оболочек или методу дисков (на выбор в зависимости от оси вращения). Поскольку в этом случае ось вращения - ось \( OX \), удобно использовать метод дисков:

Объем \( V \) тела вращения кривой \( y = f(x) \), вращающейся вокруг оси \( x \) на интервале \( [a, b] \), вычисляется по формуле:

\[ V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 dx \]

Для данной задачи:

\( f(x) = \exp(x) = e^x \)

\( a = 0 \)

\( b = 1 \)

Подставим функцию и пределы в формулу:

\[ V = \pi \int_{0}^{1} (e^x)^2 dx \]

\[ V = \pi \int_{0}^{1} e^{2x} dx \]

Теперь найдем интеграл:

\[ V = \pi [ \frac{1}{2}e^{2x} ]_{0}^{1} \]

\[ V = \frac{\pi}{2} [ e^2 - e^0 ] \]

\[ V = \frac{\pi}{2} [ e^2 - 1 ] \]

Таким образом, объем тела вращения, образованного вращением кривой \( y = e^x \) вокруг оси \( OX \) от \( x = 0 \) до \( x = 1 \), равен \( \frac{\pi}{2} (e^2 - 1) \).