Найти объем тела ограниченного поверхностями

Определение предмета и раздела:

Задание относится к предмету математика, раздел математический анализ, тема — вычисление объемов тел, ограниченных поверхностями, с использованием кратных интегралов.

Шаг 1: Анализ уравнений и описание области

Нам необходимо найти объем тела, ограниченного следующими поверхностями:

1. \( z = 0 \) — это плоскость, соответственно, нижняя граница по оси \( z \).
2. \( z = 4 - x^2 \) — параболоид, который будет верхней границей по оси \( z \).
3. \( x^2 + y^2 = 2y \) — уравнение окружности.

Рассмотрим уравнение \( x^2 + y^2 = 2y \):

Приведем его к привычной форме окружности. Выполним замену:

• \[ x^2 + y^2 - 2y = 0 \]
• \[ x^2 + (y - 1)^2 = 1 \]

Это уравнение окружности с центром в точке \( (0, 1) \) и радиусом 1.

Шаг 2: Переход к полярным координатам

Чтобы интегрировать выражение, которое зависит от \( x \) и \( y \), проще всего переходить в полярные координаты, так как границы задают окружность.

Полярные координаты:

• \[ x = r \cos\theta,\quad y = r \sin\theta \]

Тогда уравнение окружности \( x^2 + (y - 1)^2 = 1 \) в полярных координатах примет вид:

• \[ r^2 - 2r \sin\theta = 0 \]
• \[ r(r - 2\sin\theta) = 0 \]

Таким образом, \( r = 0 \) или \( r = 2\sin\theta \). Значит, радиус \( r \) варьируется от 0 до \( 2\sin\theta \).

Параболоид в новых координатах задаётся функцией \( z = 4 - r^2 \).

Шаг 3: Формулировка двойного интеграла

Теперь мы готовы записать объем тела в виде двойного интеграла:

\[ V = \int\int_D (4 - r^2) r \, dr \, d\theta \]

где \( D \) — это область, заданная параметрами:

\[ r \in [0, 2\sin\theta], \quad \theta \in [0, \pi] \]

Интеграл по \( z \) очевиден, так как мы интегрируем от \( з = 0 \) до \( з = 4 - г^2 \).

Шаг 4: Решение интеграла

Выполним интегрирование по \( r \). Для этого сначала выделим внутренний интеграл по \( r \):

\[ \int_0^{2\sin\theta} (4 - r^2) r \, dr \]

Раскроем скобки:

\[ \int_0^{2\sin\theta} (4r - r^3) \, dr \]

Интегрируем:

\[ \int 4r \, dr = 2r^2, \quad \int r^3 \, dr = \frac{r^4}{4} \]

Подставляем пределы:

\[ 2(2\sin\theta)^2 - \frac{(2\sin\theta)^4}{4} = 8\sin^2\theta - 4\sin^4\theta \]

Теперь осталось проинтегрировать по \( \theta \):

\[ V = \int_0^{\pi} (8\sin^2\theta - 4\sin^4\theta) \, d\theta \]

Для этого воспользуемся известными интегральными значениями:

\[ \int_0^\pi \sin^2\theta \, d\theta = \frac{\pi}{2}, \quad \int_0^\pi \sin^4\theta \, d\theta = \frac{3\pi}{8} \]

Подставляем в наш результат:

\[ V = 8 \cdot \frac{\pi}{2} - 4 \cdot \frac{3\pi}{8} = 4\pi - \frac{3\pi}{2} = \frac{8\pi}{2} - \frac{3\pi}{2} = \frac{5\pi}{2} \]

Ответ:

Объем тела, ограниченного поверхностями, равен \( \frac{5\pi}{2} \).