Найти номер наибольшего члена последовательности

Этот вопрос относится к предмету "математика", раздел "математический анализ" или "исследование функций".

Дана последовательность \( a_n = 11\ln{n} - n^2 \). Нужно найти номер наибольшего члена последовательности. Для этого найдем максимум функции \(a_n\). Рассмотрим функцию \( f(n) = 11\ln{n} - n^2 \).

1. Найдем производную функции \( f(n) \): \[ f'(n) = \frac{d}{dn}(11\ln{n} - n^2) = \frac{11}{n} - 2n \]
2. Установим производную равной нулю, чтобы найти критические точки: \[ \frac{11}{n} - 2n = 0 \] Умножим обе части на \( n \): \[ 11 - 2n^2 = 0 \] \[ 2n^2 = 11 \] \[ n^2 = \frac{11}{2} \] \[ n = \sqrt{\frac{11}{2}} \approx 2.345 \]
3. Проверим знак второй производной или проведем анализ первой производной около критической точки, чтобы убедиться, что это действительно максимальная точка. Находим вторую производную: \[ f''(n) = \frac{d}{dn}\left(\frac{11}{n} - 2n\right) = -\frac{11}{n^2} - 2 \] В точке \( n = \sqrt{\frac{11}{2}} \): \[ f''(n) < 0, поскольку -\frac{11}{(\sqrt{\frac{11}{2}})^2} - 2 < 0 \] Это подтверждение того, что критическая точка является максимумом. Но так как \( n \) - номер члена последовательности, оно должно быть целым числом. Приближенное значение \( n = 2.345 \) ближе всего к \( n = 2 \) и \( n = 3 \). Проверим значения функции в этих точках: \[ f(2) = 11\ln{2} - 2^2 = 11 \cdot 0.6931 - 4 = 7.6241 - 4 = 3.6241 \] \[ f(3) = 11\ln{3} - 3^2 = 11 \cdot 1.0986 - 9 = 12.0846 - 9 = 3.0846 \] Наибольшее значение достигается при \( n = 2 \).

Таким образом, номер наибольшего члена последовательности \( a_n \) — это \( n = 2 \).