Найти непрерывность функции lnx/x

Предмет: Математика

Раздел: Математический анализ

Задание: Исследовать непрерывность функции \( f(x) = \frac{\ln x}{x} \).

Решение:

1. Область определения функции: Функция \( \ln x \) определена при \( x > 0 \). Следовательно, функция \( f(x) = \frac{\ln x}{x} \) также определена при \( x > 0 \).
2. Проверка непрерывности в области определения: Для исследования непрерывности функции в области её определения, нужно воспользоваться определением непрерывности. Функция \( f(x) \) непрерывна в точке \( x_0 \), если предел функции при \( x \) стремящемся к \( x_0 \) равен значению функции в этой точке: \[\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)\] Рассмотрим функцию более детально: \[ f(x) = \frac{\ln x}{x} \] Как известно, логарифмическая функция \( \ln x \) непрерывна для всех \( x > 0 \). Также функция \( x \) является непрерывной на всей области своих определений. Следовательно, функция \( \frac{\ln x}{x} \) представляет собой отношение двух непрерывных функций, что также является непрерывной функцией для всех \( x > 0 \).
3. Границы области определения: Проверим поведение функции при границах области определения, а именно при \( x \to 0^+ \) и при \( x \to \infty \).
   • Для \( x \to 0^+ \): \[\lim_{x \to 0^+} \frac{\ln x}{x}\] Рассмотрим предел \( \frac{\ln x}{x} \) при \( x \to 0^+ \). Применим метод выполнения пределов через подстановку: \[ u = x, \, u \to 0^+ \implies \ln u \to -\infty \] Следовательно, \[ \lim_{x \to 0^+} \frac{\ln x}{x} = -\infty \]
   • Для \( x \to \infty \): \[\lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x}\] Обозначим \( y = \frac{\ln x}{x} \). Рассмотрим предел при \( x \to \infty \): \[ \frac{\ln x}{x} \approx \frac{\ln x}{y} \] Существует известно, что при таких значениях логарифм растет медленнее любой степени \( x \), в том числе и \( x \) самого по себе: \[ \lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x} = 0 \]
   Итак, функция \( \frac{\ln x}{x} \) является непрерывной на промежутке \( (0; \infty) \). На этом промежутке она не имеет разрывов.