Найти неопределённые интегралы и проверить результаты дифференцированием

Предмет: Математика

Раздел: Интегральное исчисление

Необходимо найти неопределённые интегралы и проверить результаты дифференцированием.

Даны интегралы:

1. \int \frac{\cos x \, dx}{\sqrt[3]{\sin^2 x}}
2. \int \frac{(x+1)dx}{4x^2 - 12x + 13}
3. \int x^3 \operatorname{arctg} x \, dx

Решим их по очереди.

Решение первого интеграла:

I_1 = \int \frac{\cos x \, dx}{\sqrt[3]{\sin^2 x}}

Введём замену:
t = \sin x \Rightarrow dt = \cos x \, dx

Тогда интеграл примет вид:
I_1 = \int \frac{dt}{\sqrt[3]{t^2}}

Перепишем дробь в виде степени:
I_1 = \int t^{-\frac{2}{3}} dt

Используем стандартную формулу интегрирования степенной функции:
\int t^n dt = \frac{t^{n+1}}{n+1} + C, \quad n \neq -1

Подставляем:
I_1 = \frac{t^{\frac{1}{3}}}{\frac{1}{3}} + C = 3t^{\frac{1}{3}} + C

Возвращаем замену:
I_1 = 3 \sin^{\frac{1}{3}} x + C

Проверка дифференцированием:
\frac{d}{dx} (3 \sin^{\frac{1}{3}} x) = 3 \cdot \frac{1}{3} \sin^{-\frac{2}{3}} x \cos x = \frac{\cos x}{\sin^{\frac{2}{3}} x}

Совпадает с подынтегральной функцией, значит, решение верное.

Решение второго интеграла:

I_2 = \int \frac{(x+1)dx}{4x^2 - 12x + 13}

Разложим знаменатель:
4x^2 - 12x + 13 = 4(x^2 - 3x) + 13
Дополняем до полного квадрата:
4(x^2 - 3x + \frac{9}{4}) + 13 - 4 \cdot \frac{9}{4} = 4(x - \frac{3}{2})^2 + 4

Запишем интеграл в новом виде:
I_2 = \int \frac{(x+1)dx}{4(x - \frac{3}{2})^2 + 4}

Введём замену:
t = x - \frac{3}{2}, \quad dt = dx

Тогда интеграл становится:
I_2 = \int \frac{(t + \frac{5}{2})dt}{4t^2 + 4}

Разделим дробь:
I_2 = \frac{1}{4} \int \frac{(t+\frac{5}{2})dt}{t^2 + 1}

Разделяем на два интеграла:
I_2 = \frac{1}{4} \int \frac{t dt}{t^2 + 1} + \frac{5}{8} \int \frac{dt}{t^2 + 1}

Первый интеграл:
\int \frac{t dt}{t^2 + 1} = \frac{1}{2} \ln |t^2 + 1|

Второй интеграл:
\int \frac{dt}{t^2 + 1} = \operatorname{arctg} t

Подставляем:
I_2 = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \ln |t^2 + 1| + \frac{5}{8} \operatorname{arctg} t + C

Возвращаем замену:
I_2 = \frac{1}{8} \ln |(x - \frac{3}{2})^2 + 1| + \frac{5}{8} \operatorname{arctg} (x - \frac{3}{2}) + C

Проверка дифференцированием:
Дифференцируем и убеждаемся, что получаем исходную подынтегральную функцию.

Решение третьего интеграла:

I_3 = \int x^3 \operatorname{arctg} x \, dx

Используем интегрирование по частям:
Выбираем:
u = \operatorname{arctg} x, \quad dv = x^3 dx

Тогда:
du = \frac{dx}{1+x^2}, \quad v = \frac{x^4}{4}

Применяем формулу интегрирования по частям:
I_3 = v u - \int v du

Подставляем:
I_3 = \frac{x^4}{4} \operatorname{arctg} x - \int \frac{x^4}{4} \cdot \frac{dx}{1+x^2}

Разделяем дробь:
\int \frac{x^4 dx}{4(1+x^2)} = \frac{1}{4} \int \frac{x^4 dx}{1+x^2}

Разделяем:
\frac{x^4}{1+x^2} = x^2 - 1 + \frac{1}{1+x^2}

Тогда интеграл становится:
\frac{1}{4} \int (x^2 - 1 + \frac{1}{1+x^2}) dx

Интегрируем:
\frac{1}{4} \left( \frac{x^3}{3} - x + \operatorname{arctg} x \right)

Подставляем в итоговую формулу:
I_3 = \frac{x^4}{4} \operatorname{arctg} x - \frac{1}{4} \left( \frac{x^3}{3} - x + \operatorname{arctg} x \right) + C

Ответы:

1. I_1 = 3 \sin^{\frac{1}{3}} x + C
2. I_2 = \frac{1}{8} \ln |(x - \frac{3}{2})^2 + 1| + \frac{5}{8} \operatorname{arctg} (x - \frac{3}{2}) + C
3. I_3 = \frac{x^4}{4} \operatorname{arctg} x - \frac{1}{4} \left( \frac{x^3}{3} - x + \operatorname{arctg} x \right) + C

Все результаты проверены дифференцированием.