Найти неопределенный интеграл с помощью замены переменной

Задание относится к области математики, а именно к разделу математического анализа, конкретно к теме нахождения неопределенных интегралов.

Необходимо найти неопределенный интеграл \[ \int e^{2 \cos x} \cdot \sin x \, dx. \] Для решения интеграла воспользуемся методом подстановки. Сделаем следующую замену: Пусть \( u = \cos x \). Тогда \( \frac{du}{dx} = -\sin x \) или \( du = -\sin x \, dx \). Теперь перепишем наш интеграл с учетом сделанной замены: \[ \int e^{2 \cos x} \cdot \sin x \, dx = \int e^{2u} \cdot (-du). \] Выносим минус за знак интеграла: \[ \int e^{2 \cos x} \cdot \sin x \, dx = - \int e^{2u} \, du. \]

Теперь найдем неопределенный интеграл \(\int e^{2u} \, du\): \[ - \int e^{2u} \, du. \] Для этого используем стандартное правило интегрирования: \[ \int e^{au} \, du = \frac{1}{a} e^{au} + C, \] где \( a = 2 \). Применяя это правило: \[ - \int e^{2u} \, du = - \frac{1}{2} e^{2u} + C. \] Теперь вернемся к переменной \( x \) (заменим \( u \) обратно на \(\cos x\)): \[ - \frac{1}{2} e^{2u} + C = - \frac{1}{2} e^{2 \cos x} + C. \]

Таким образом, неопределенный интеграл равен: \[ \int e^{2 \cos x} \cdot \sin x \, dx = - \frac{1}{2} e^{2 \cos x} + C, \] где \( C \) — произвольная постоянная интегрирования.