Найти неопределенный интеграл

Этот пример относится к предмету "математика", разделе "математический анализ", конкретно к теме интегралов. Давайте подробно разберем решение.

Нам нужно найти неопределенный интеграл \( \int \frac{1}{x^2} \, dx \).

Шаг 1: Перепишем выражение в более удобной форме для интегрирования.

\[ \frac{1}{x^2} = x^{-2} \]

Теперь наш интеграл выглядит так:

\[ \int x^{-2} \, dx \]

Шаг 2: Применим формулу для интегрирования степенной функции:

\[ \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \]

где \( n \neq -1 \) и \( C \) - константа интегрирования. В нашем случае \( n = -2 \).

Шаг 3: Подставим \( n = -2 \) в формулу:

\[ \int x^{-2} \, dx = \frac{x^{-2+1}}{-2+1} + C \]

Шаг 4: Упростим выражение:

\[ \int x^{-2} \, dx = \frac{x^{-1}}{-1} + C \]

\[ \int x^{-2} \, dx = -x^{-1} + C \]

Шаг 5: Возвращаемся к первоначальной форме:

\[ -x^{-1} = -\frac{1}{x} \]

Итак, ответ:

\[ \int \frac{1}{x^2} \, dx = -\frac{1}{x} + C \]

Пошаговое объяснение получилось следующим образом:

1. Переписали выражение в удобной форме \( x^{-2} \).
2. Использовали формулу интегрирования степенной функции.
3. Подставили значение степени и упростили выражение.
4. Записали окончательный результат.